Учет тенденции при построении модели регрессии

Методы учета тенденции при построении модели регрессии по временным рядам делятся на две группы:

• — методы исключения тенденции из уровней динамического ряда и построение модели по остаточным величинам;
• — включение в модель регрессии фактора времени.

Методы исключения тенденции

Теоретически возможны два подхода для исключения тенденции из уровней временного ряда:

• — метод последовательных разностей;
• — метод отклонений от тренда.

Наиболее точным из них является метод отклонений от тренда, ибо тенденция учитывается в виде уравнения тренда, описывающего закономерность изменения уровней ряда во времени. Метод последовательных разностей учитывает тенденцию, представленную полиномом соответствующей степени. Так, если тенденция линейная, то регрессия строится по первым разностям, т. е. абсолютным приростам; если же тенденция характеризуется параболой второй степени, то для модели регрессии используются вторые разности, т. е. абсолютные ускорения.

Поскольку тренд может быть описан любой математической функцией, а не только полиномом к-го порядка, то теоретически более оправданным является учет тенденции в модели регрессии методом отклонений от тренда. Вместе с тем построение модели регрессии по последовательным разностям как наиболее простой способ учета тенденции находит практическое применение. Последовательные разности используются также при построении модели AR1MA (см. гл. 7).

Метод последовательных разностей

Если в ряде динамики имеется четко выраженная линейная тенденция, то ее можно устранить, перейдя от исходных уровней ряда yt к цепным абсолютным приростам? t, т. е. первым разностям. Объясняется это тем, что линейный тренд характеризуется постоянным абсолютным приростом. Его величина в уравнении соответствует параметру b. Первые разности в линейном тренде будут варьировать за счет случайной составляющей вокруг своей константы — параметра b. Тенденция в уровнях временного ряда будет устранена. Так, цепной абсолютный прирост можно представить как.

(6.1).

Если ряд динамики характеризуется тенденцией в виде параболы второй степени, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности , т. е. на величину абсолютных ускорений. Как известно, парабола второй степени характеризуется постоянным абсолютным ускорением (вторыми разностями), а первые разности имеют линейную тенденцию. Поэтому для динамического ряда с тенденцией в виде параболы вторые разности будут колебаться вокруг величины 2с за счет случайной ошибки , ибо всегда Соответственно тенденция из исходных данных временного ряда будет устранена.

Представим абсолютное ускорение как.

, и если

то.

(6.2).

т.е. первые разности являются линейной функцией от времени t. Вторые разности окажутся равными.

(6.3).

Они не зависят от фактора времени t и могут быть использованы для построения регрессии по временным рядам.

Аналогично можно показать, что если тенденция характеризуется полиномом третьей степени, то для модели регрессии следует использовать третьи разности, чтобы исключить тенденцию из уровней временного ряда. Однако модели регрессии по вторым, третьим разностям мало информативны с точки зрения их интерпретации и последующего использования в прогнозировании. Поэтому ограничимся рассмотрением регрессии по первым разностям.

При исследовании двых динамических рядов с линейными тенденциями модель линейной регрессии примет вид.

(6.4).

где - первые разности; - случайная ошибка.

Модель (6.4) по существу является моделью скорости роста. Она строится как обычная модель регрессии, но не по уровням динамических рядов, а по их приростам, т. е. по продифференцированным рядам.

Параметр b в модели характеризует среднее изменение скорости ряда с изменением абсолютного прироста ряда на единицу.

Следует заметить, что если модель будет характеризоваться высоким показателем и отсутствием автокорреляции в остатках, то для прогнозирования конкретных значений можно перейти к уравнению вида.

(6.5).

где - прогнозное значение динамического уровня ряда ; - конечный уровень динамического ряда ; - прогнозное значение уровня ряда - конечный уровень ряда х.

В данном уравнении величина оценивает прогнозное значение скорости ряда - прогнозное значение скорости ряда у.

Прогнозное значение фактора может быть дано либо по модели , где - объясняющая переменная X,•, либо по тренду . От того, насколько хорошо спрогнозировано значение фактора , зависит качество прогноза .

Пример 6.1

Затраты электроэнергии  — тыс. кВт. • час) и объем выпущенной продукции К ( — тыс. ед.) характеризуются по предприятию за девять кварталов следующими данными:

Если к этим данным применить МНК, то получим уравнение регрессии.

Значение , близкое к единице, обусловлено наличием линейной тенденции в рассматриваемых временных рядах. Модель регрессии по критерию Дарбина — Уотсона не позволяет отклонить гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках: табличные значения его при 5%-ном уровне значимости составило 0,82 — нижнее и 1,32 — верхнее.

Чтобы устранить из данных тенденцию, найдем первые разности (табл. 6.1).

Таблица 6.1. Первые разности временных рядов затрат электроэнергии Ауг и объема выпущенной продукции

Годы.
	-.	0,5.	0,3.	0,4.	0,4.	0,5.	0,3.	0,3.	0,4.
	-.	0,3.	0,2.	0,2.	0,3.	0,4.	0,2.	0,2.	0,4.

Используя МНК, получим уравнение регрессии:

Коэффициент регрессии b = 0,7692 показывает, что увеличение скорости роста объема продукции на 1 тыс. ед. приводит в среднем к увеличению абсолютного прироста затрат электроэнергии на 769,2 кВт. • ч.

В данном уравнении регрессии отсутствует автокорреляция в остатках: критерий Дарбина-Уотсона превышает верхнее табличное значение 1,33.

Прогноз на 10-й год выполним по уравнению , где найдем по уравнению линейного тренда.

Соответственно тыс. кВт. ч.