Трехфакторная модель Фамы – Френча

После того как Г. Марковиц, Дж. Тобин и У. Шарп сформулировали модель оценки долгосрочных активов, было проведено много исследований, в которых модель критиковали, обнаруживали ее несовершенства и предлагали различные корректировки. На недостаточность коэффициента «бета» как объясняющего фактора указывают многие эмпирические исследования. Одно из главных противоречий САРМ — эффект размера — было обнаружено Р. Банзем^[1] в 1981 г. Проведенное им исследование показало, что размер компании, определяемый через рыночную капитализацию, в значительной степени влияет на ожидаемые доходы акций даже после учета систематического риска. Действительно, мелкие компании являются менее устойчивыми и более волатильными, чем компании со значительным оборотом и устойчивым кредитным рейтингом, поэтому инвесторы ожидают дополнительную премию за риск инвестирования в мелкие компании. С. Базу^[2] выявил сезонный (январский) эффект. Д. Стэттмен^[3], равно как Б. Розенберг, К. Рейд и Р. Лангстайн^[4], показал, что средняя доходность прямо пропорциональна отношению рыночной и балансовой стоимости фирмы. И. Бхандари^[5] выяснил, что оценка коэффициента «бета» в значительной степени определяется коэффициентом долговой нагрузки.

В результате появились разнообразные факторные модели. Одно из наиболее значимых исследований было проведено Ю. Фамой и К. Френчем^[6]. Они обнаружили, что доходность акций обратно пропорциональна размеру компании, определяющемуся рыночной капитализацией, и прямо пропорциональна отношению балансовой стоимости акционерного капитала компании к его рыночной стоимости.

Ими была разработана трехфакторная модель, в которую помимо премии за рыночный риск были включены еще два фактора: разница между доходностями малых и больших компаний (SMBP — small minus big premium) и разница в доходностях компаний с высоким и низким соотношением балансовой и рыночной стоимости (HMLP — high minus low premium). Ю. Фама и К. Френч показали, что вариация в средних доходах 25 портфелей, составленных исходя из размера и соотношения балансовой и рыночной стоимости, объясняется вариацией этих двух факторов.

Уравнение модели выглядит следующим образом:

Тогда затраты на собственный капитал компании могут быть оценены как.

где кроме переменных из классической модели оценки доходности активов появляются новые независимые переменные: E (SMBP) — ожидаемая премия за риск, связанная с размером капитализации компании; - коэффициент линейной регрессии при показателе ожидаемой премии за риск, связанной с размером капитализации компании (портфели, содержащие акции компаний с высокой капитализацией, будут иметь отрицательные , в то время как портфели, состоящие из акций низкокапитализированных компаний, будут иметь высокое положительное значение si); E (HMLP) — ожидаемая премия за финансовый риск; hi — коэффициент линейной регрессии при показателе ожидаемой премии за финансовый риск (портфели, содержащие «акции стоимости» (value stocks), будут иметь высокое значение hi, тогда как портфели, состоящие из акций роста (growth stocks), будут иметь отрицательные hi).

Трехфакторная регрессия имеет значимые коэффициенты при всех трех переменных, и показатель R2, характеризующий качество регрессионного уравнения, близок к единице для большинства портфелей. Это значит, что указанные три фактора охватывают значительную долю общей дисперсии доходности портфеля. Следовательно, показатели размера и соотношения балансовой и рыночной стоимости объясняют независимые источники систематического риска (помимо рыночного). Средние за период разница между доходностями малых и больших компаний (SMBP) и разница в доходностях компаний с высоким и низким соотношением балансовой и рыночной стоимости (HMLP) могут рассматриваться в качестве премий за риск. Согласно уравнению Фамы и Френча акции с низкой капитализацией и акции стоимости приносят бо? льшую доходность, так как они являются более рисковыми.

Портфели, на основе которых вычисляются SMBP и HMLP, формируются на базе данных по акциям, котирующимся на Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE), Американской фондовой бирже (АМЕХ) и в Автоматизированной системе котировок Национальной ассоциации дилеров, но торговле ценными бумагами (NASDAQ).

Для расчета SMBP все акции сортируются в два портфеля на основании следующего критерия: выше или ниже рыночная капитализация данной компании медианного значения рыночной капитализации на НьюЙоркской фондовой бирже.

Для вычисления HMLP используется соотношение балансовой и рыночных стоимостей акции, все акции распределяются в три портфеля в соответствии с данными Ныо-Йоркской фондовой биржи: первый портфель — 30% акций с наивысшим показателем соотношения балансовой и рыночной стоимости, второй — 40% со средним соотношением, третий — 30% с наименьшим соотношением.

Таким образом, согласно теории Фамы — Френча каждая акция должна быть отнесена к одному из шести портфелей, для каждого из которых рассчитываются факторы SMBP и HMLP:

• 1) низкая капитализация и невысокое соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций;
• 2) низкая капитализация и среднее соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций;
• 3) низкая капитализация и высокое соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций;
• 4) высокая капитализация и невысокое соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций;
• 5) высокая капитализация и среднее соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций;
• 6) высокая капитализация и высокое соотношение балансовой и рыночной стоимостей акций.

Премия SMBP представляет собой разницу между ожидаемой среднемесячной доходностью акций, включенных в три портфеля с низкой капитализацией (портфели 1−3) и акций, включенных в три портфеля с высокой капитализаций (портфели 4−6).

Премия HMLP отражает разницу между ожидаемой среднемесячной доходностью акций из двух портфелей с высоким соотношением балансовой и рыночной стоимостей (портфели 3 и 6) и акций из двух портфелей с низким соотношением балансовой и рыночной стоимостей (портфели 1 и 4). Значения премий SMBP и IIMLP, а также коэффициенты регрессии ( и ) для публичных компаний рассчитываются и публикуются рядом аналитических агентств (например, в «Книге Бета» и ежеквартальном издании «Затраты на капитал» Ibbotson Associates).

В среднем значения затрат на собственный капитал, вычисленные на основе модели Фамы — Френча, выше значений, полученных при использовании модели классической САРМ и менее стабильны во времени, особенно для компаний с небольшой капитализацией. Поэтому при выборе модели необходимо тщательно проанализировать историю той или иной компании, ее индивидуальные особенности и их влияние на результат вычислений. На практике чаще используется модель САРМ с последующим расчетом премий за дополнительные факторы риска, а модель Фамы — Френча является вспомогательным инструментом для анализа, поскольку она также не учитывает всех возможных рисков.

• [1] Ваnz R. W. The relationship between return and market value of common stock // Journal of Financial Economics. 1981. Vol. 9. P. 3−18.
• [2] Basu S. The relationship between earnings yield, market value, and return for NYSE common stocks: Further evidence // Journal of Financial Economics. 1983. Vol. 12. P. 129−156.
• [3] Stattman D. Book values and stock returns // The Chicago MBA: A Journal of Selected Papers. 1980. P. 25−45.
• [4] Rosenberg B., Reid K" Lanstein R. Persuasive evidence of market Inefficiency // Journal of Portfolio Management. 1985. Vol. 11. P. 9−17.
• [5] Bhandari I. Debt/equity ratio and expected common stock returns: empirical evidence // Journal of Finance. 1988. April. P. 507−528.
• [6] Fama E. F., French K. R. The cross section of expected stock returns //Journal of Finance. 1992. Vol. 47. P. 427−465.