Диод Пирса

Диод Пирса является одной из простейших пучково-плазменных систем, демонстрирующих сложную хаотическую динамику.

Диод Пирса представляет собой две бесконечных плоских параллельных сетки, пронизываемых моноэнергетическим бесконечно широким электронным потоком. Сетки, ограничивающие систему, заземлены и находятся на определённом расстоянии L друг от друга. Плотность заряда ?0 и скорость х0 потока на входе в диодный промежуток поддерживаются постоянными. Пространство между сетками заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов с плотностью ??. Плотность нейтрализующего заряда равна по абсолютной величине невозмущённой плотности заряда в электронном потоке (?0=??). Динамика подобной системы определяется единственным управляющим параметром б=PL|х0,называемым параметром Пирса (P-плазменная частота электронного пучка). А описывается эта система уравнением Пуассона, которое изначально выглядит :

²ц/x²=б²(?-1).

Целью данной работы является изучение метода решения уравнения Пуассона, описывающего процессы, происходящие в диоде, методом распространения вектора ошибки.

Метод распространения вектора ошибки

Данный метод сводится к решению разностного уравнения

(ц?+1−2ц?+ц?-1)/Дч²=б²(?_?-n), ц₀=ц_Nc=0,обозначим это уравнение (1) В ряде случаев удаётся решить уравнение Пуассона быстрее, чем методом прогонки, и при этом, — значительно точнее, чем спектральными методами. Этот метод предложил Дж. Роуч в своей монографии, он назывался метод EVP (error vector propagation) или метод распространения вектора ошибки, который базируется на линейности уравнения Пуассона.

Пусть {}_j— некоторые значения потенциала в узлах сетки, за исключением ₀=_Nc=0, которые, за счёт граничных условий являются точными. Произвольно положим 1=0=0. Это значение Ц1 отличается от истинного значения ц₁ на величину ошибки е: ц1=1+e (2). Тогда можно определить все предварительные значения j на основании соотношения (1) при первом обходе узлов, начиная с j=2:

j+1=Дx²б²(?j-n)+2j-j-1 (3)

При этом

j+ej=j (4)

Подставляя (4) в уравнение Пуассона, получаем рекуррентную формулу для расчёта распространения ошибки:

ej+1 = 2ej-ej-1 (5)

Очевидно, что e₀=0, e₂ e, тогда

ej=(j-1)e (6)

Ошибка e вычисляется в конце первого обхода с учётом граничного условия на правой границе цNc=0:

E=-цNc/(Nc-1) (7)

На втором обходе осуществляется исправление предварительных величин с использованием предыдущего соотношения цj=j+(j-1)e (8)

уравнение диод вектор потенциал

Как можно заметить, метод распространения вектора ошибки не очень трудоёмок и не занимает большого количества времени. В то время, как другие методы (метод прогонки) содержат почти в два-три раза большие алгоритмы решения уравнения Пуассона, а следовательноони менее рациональны. Также, метод EVP даёт более точные, по сравнению со спектральными методами, результаты.

В ходе работы была сделана программа, рассчитывающая потенциал в определённом узле сетки с учётом граничных условий (F0,Fn) по методу распространения вектора ошибки.

По некоторым результатам, полученным с помощью программы, построены диаграммы распределения потенциала по узлам сетки. А именно, по данным:

Диаграммы

Исходя из результатов построения, можно утверждать, что алгоритм программы выстроен правильно, и программа выдаёт правильные результаты.

Вывод

Был подробно исследован метод EVP (метод распространения вектора ошибки) решения уравнения Пуассона. Приведены аргументы, подтверждающие высокую точность метода, его рациональность и экономичность относительно других методов.

Сделана программа, воспроизводящая метод распространения вектора ошибки на компьютере.

Построены диаграммы распределения потенциала, проверяющие правильность расчётов программы.

Список используемой литературы

[1] Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов. «Лекции по СВЧ электроников для физиков.»

[2] А. А. Короновский, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов. «Управление хаосом в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса»