Перевод чисел из одной позиционной системы в другую

При компьютерной обработке информации (данных) возникает необходимость перевода чисел из одной позиционной системы в другую. Это обусловлено тем, что в обычной жизни используется десятичная система, для адресации — шестнадцатеричная, а основная обработка данных ведется в двоичной системе. На основании выражения (2.1) для двух равнозначных чисел позиционных систем с основаниями и можно записать тождество.

(2.3).

где (2.4).

Задача перевода числа в число состоит в определении значений коэффициентов Ь. с учетом (2.4) по известным значениям коэффициентов аг Рассмотрим некоторые методы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Метод подбора. При реализации этого метода все действия выполняются по правиламарифметики, т. е. основание <72 и искомые коэффициенты bj записываются в системе счисления с основанием qv Используется следующая последовательность действий:

• • из условия определяются максимальная степень k основания и коэффициент ;
• • из условия отыскивается коэффициент ;
• • из условия отыскивается коэффициент и т. д.;
• • в полученном соотношении

необходимо каждый коэффициент А; перевести в систему счисления с основанием q2, т. е. записать число в виде.

Пример 2.3. Переведем десятичное число А 10 = 79,61 в пятеричную систему счисления. При этом основание q2 = 5 и коэффициент bj = 0,1, 2,3,4, т. е. их следует записывать в десятичных числах.

Выполним рекомендуемую последовательность действий:

Шаг 1. Из условия 79,61 >Ьк-5к определяем к = 2, Ьк = 3.

Шаг 2. Из условия 79,61 — 3 • 52 = 4,61 > А, • 51 находим А, = 0. Шаг 3. Из условия 79,61 -3- 52−0 • 5' = 4,61 > Ац ¦ 5° находим Ьа=4. Шаг 4. Из условия 79,61 — 3 • 52 — 0 • 5' - 4 • 5° = 0,61 > А, ¦ 5й находим, А, = 3.

Шаг 5. Из условия 79,61 — 3 • 52 — 0 ¦ 5' - 2 • 5° - 3 • 5 1 = 0,01 > А 2 • 5−2 находим, А 2 = 0.

Шаг 6. Из условия 79,61 — 3 • 52 — 0 • 5' - 2 • 5° - 3 • 5″ ' - 0 • 5″ 2 = 0,01 > А з • 5″ 3 находим, А, = 1.

Получаем соотношение 79,61 — 3 • 52 -2−5²- 5° - 3 ¦ 5−1 — 0 ¦ 5−2 — -1 • 5₃=0,002, определяющее абсолютную погрешность вычислений. Из этого соотношения находим значение числа А ш = 79,61 в пятеричной системе счисления:

так как коэффициенты в системах счисления с основаниями 5 и 10 имеют одинаковые значения.

Пример 2.4. Переведем десятичное число в систему счисления с основание

Шаг 1. Из условия находим

Шаг 2. Из условия находим А0 = 9.

Шаг 3. Из условия находим

Соотношение 201,875 — 12 • 16' - 9 • 16° - 14 • 16 1 = 0 свидетельствует об отсутствии погрешности вычислений. После перевода найденных коэффициентов Ьх = 12, Ь0 = 9, Ь_х = 14 в систему счисления с основанием q2 = 16 получаем Al6 = С9Е.

Для чисел в виде неправильной дроби (2.2) можно осуществить раздельный перевод целой и дробной (правильной дроби) частей по изложенным ниже правилам.

Перевод целых чисел делением на основание q2 новой системы счисления. Для обоснования правила перевода целого числа представим Aq путем группировки членов полинома (2.3) в форме так называемой схемы Горнера

(2.5).

В справедливости соотношений (2.5) можно убедиться, если раскрыть скобки. Па основании (2.5) коэффициенты определяются в результате выполнения следующей последовательности действий:

• разделив число А , представленного в форме схемы Горнера, на основание q." получим целую часть первого частного и остаток Ь0, который является нулевым разрядом числа с основанием q2;

• разделив целую часть первого частного на основание qv получим целую часть второго частного и остаток bv представляющий собой первый разряд числа с основанием qT и т. д.

Таким образом, выполняя последовательно (k + 1) раз операцию деления по изложенному правилу, получим значения всех искомых коэффициентов (г числа А(^.

Пример 2.5. Воспользовавшись приведенным алгоритмом, переведем целое десятичное число Л10 = 79 в пятеричную систему счисления.

Шаг 1. После деления 79:5 получаем целую часть первого частного 15 и остаток Ь() = 4.

Шаг 2. Разделив целую часть первого частного 15:5, получаем целую часть второго частного 3 и остаток Ьх = 0.

Шаг 3. Разделив целую часть второго частного 3: 5, получаем целую часть третьего частного 0 и остаток Ь2 = 3.

Таким образом, эквивалентом десятичного числа А10 = 79 в пятеричной системе счисления является целое число A. = (b.,/;0). = 3045.

Перевод правильных дробей умножением на основание q2 новой системы счисления. Для обоснования правила перевода правильной дроби представим ее путем группировки членов полинома (2.3) в форме схемы Горнера:

(2.6).

На основании (2.6) коэффициенты bb 2, Ь_у … определяются в результате выполнения следующей последовательности действий:

• • умножив правильную дробь А^, представленную в форме схемы Горнера, на основание qv получим первую неправильную дробь i, целая часть которой b | является первым искомым коэффициентом;
• • умножив оставшуюся правильную дробь на основание q2, получим вторую неправильную дробь , целая часть которой является вторым искомым коэффициентом, и т. д.

Таким образом, выполняя последовательно / раз операцию умножения на q2 по изложенному правилу, получим значения всех искомых коэффициентов Ь, правильной дроби.

Пример 2.6. Переведем правильную дробь А10 = 0,61 в пятеричную систему счисления.

Шаг 1. После умножения 0,61×5 = 3,05 получаем коэффициент Ь_{ = 3, который является целой частью неправильной дроби.

Шаг 2. Умножив оставшуюся часть неправильной дроби 0,05 х х 5 = 0,25, получаем Ь_2 = 0 как целую часть неправильной дроби.

Шаг 3. Умножив оставшуюся часть неправильной дроби 0,25 х х 5 = 1,25, находим 6₃ = 1.

Таким образом, эквивалентом десятичной правильной дроби А 10=0,61 в пятеричной системе счисления является правильная дробь

Табличный метод перевода целых чисел. Суть табличного метода перевода чисел из одной системы в другую заключается в следующем:

• • составляется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы;
• • задача перевода состоит в выборе из таблицы эквивалента, соответствующего исходному числу.

Задача перевода сводится к тому, что в выражение (2.3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам^{-арифметики.} Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.

Пример 2.7. Переведем десятичное число А10 = 123 в двоичное число А2.

Составим таблицу (табл. 2.3) степеней основания 10 десятичной системы и их двоичных эквивалентов.

Таблица 2.3

Пример 2.8. Переведем двоичное число А2 = 1010Д012 в десятичное число А10.

Составим таблицу (табл. 2.4) степеней основания 2 двоичной системы и их десятичных эквивалентов.

Таблица 2.4