Формализации задач оптимизации САУ применительно к использовании) составных критериев

Очевидна неприменимость результата оптимизации нереализуемого объекта для практики.

Может быть предложена, например, следующая формулировка задачи оптимизации при использовании составного критерия: «Требуется отыскать коэффициент интегрального регулятора, который обеспечивает максимальное сочетание быстродействия и точности, оцениваемое некоторым функционалом». К этой формулировке можно добавить: «при условии, что перерегулирование нс превысит 10%». Но даже и без этого добавления имеет место задача оптимизации, поскольку сочетание быстродействия и точности — это уже некоторый компромисс для всех практических случаев, и лишь в чисто теоретических примерах, например, с объектом первого порядка, такая задача не приводит к необходимости компромиссного решения.

В простейшей формулировке (без уточнения перерегулирования) эта задача легко разрешается, например, моделированием в программе VisSim 5.0.

Применим указанную постановку к задаче Примера 3, рассмотренного ранее. Если сочетание быстродействия и точности оценивается функционалом.

на интервале Т = 30 с, то искомый коэффициент равен 0,1869, и значение интеграла (5.8) равно 27,9815. При этом перерегулирование составляет приблизительно М-7,6% (см. рис. 5.18).

Рис. 5.18. Переходные процессы в системе примера 3 с ограничением перерегулирования нс более 5%.

Если же минимизируется функционал.

на том же интервале, то искомый коэффициент равен 0,2324, и значение интеграла (5.9) равно 6,197, а перерегулирование составляет около М= 15,5% (см. рис. 5.19).

Рис. 5.19. Переходные процессы в системе примера 3 с ограничением перерегулирования нс более 10%.

В случае уточнения максимального перерегулирования задача может быть разрешена с применением составного критерия вида.

где у «1. Максимальное значение коэффициента интегрального регулятора, при котором перерегулирование еще не превышает 10%, составляет к = 1,998. Это значение и будет получено при таком критерии. Для отыскания этого результата достаточно задать одно из слагаемых, заставляющее увеличивать коэффициент регулятора, а другое — заставляющее интегральный критерий резко возрастать при достижении критического значения 10%. В этом случае совершенно не важно, что именно заставляет увеличиваться искомый коэффициент. Более корректная формулировка данной задачи такова: «Требуется отыскать максимальный коэффициент интегрального регулятора, при котором перерегулирование не превышает 10%». Ссылка на два фиксированных временных показателя в данном случае совершенно безосновательна: достаточно сослаться на один какой-либо показатель длительности переходного процесса и потребовать его предельного сокращения. В этом случае задача действительно по праву будет являться задачей оптимизации.

Вывод 7. Составной критерий, содержащий компоненту, ответственную за увеличение параметров настройки регулятора, и компоненту, препятствующую неограниченному увеличению этих параметров, работает достаточно успешно, поскольку имеет ярко выраженный экстремум.

Отмстим, что в случае применения составного критерия, состоящего из целевой функции и функции, обеспечивающей соблюдение граничных параметров переходного процесса, результат с большой вероятностью может оказаться на границе выполнимости этих параметров. В этом случае конкретный выбор целевой функции может оказаться не очень существенным: достаточно лишь того, чтобы эта целевая функция обеспечивала во время работы процедуры оптимизации движение в сторону увеличения этих параметров.

Оптимизация, но интегральному критерию предполагает поиск параметров регулятора, сообщающих минимум некоторому стоимостному функционалу 4^х, например, (2.29)—(2.31), общий вид которых может быть задан соотношением:

где ср — подынтегральная функция, зависящая от этих параметров; Т — время моделирования переходного процесса. Это предполагает: а) существование минимума этого функционала при ограничениях, налагаемых на задачу реальными свойствами объекта и возможностями регулятора; б) обоснованность (5.11). Обоснованность целевого функционала Ч* - это такое его формулирование, при котором обеспечение его минимума по параметрам гарантирует наилучшее соответствие свойств замкнутой системы предъявляемым к ней техническим требованиям, т. е. полезность достижения минимума Ч^/ соотношения (5.11). Примером обоснованного функционала, который, как правило, нс применим, поскольку нс имеет экстремума, может служить минимум мощности управляемого сигнала (ф = и² / R, где и — управляющее напряжение, R — входное сопротивление объекта). Вместе с тем, если в такой функционал ввести, например, условие достижения через некоторое время вхождения ошибки в некоторую малую зону, то требование (а) будет также обеспечено, поэтому такой интегральный критерий будет работоспособен. Это условие задается соотношением: />/₂=> => |е (/)| < А_м. Здесь Ь ~ время окончания переходного процесса, А_ч — максимально допустимая погрешность системы. Учет этого требования в функционале вида (5.11) может быть обеспечен введением под интеграл величины, которая резко возрастает при нарушении этого условия, а резкого возрастания можно достичь большим весовым коэффициентом у:

где а (/) — единичный ступенчатый скачок.

Таким образом, при обеспечении обоснованности выбора целевого функционала и в случае наличия в нем минимума, такой функционал может быть успешно применен в качестве критерия оптимизации, а достижение последнего условия может быть легко обеспечено применением составного критерия.