Необязательный математический комментарий. 
Математические модели олигополий

Антуан Курно Как уже упоминалось выше, уже в XIX в. экономисты задумались о том, как математически смоделировать поведение фирм на разных типах олигополистических рынков. Одной из моделей, появившихся в этом веке, стала модель французского экономиста Антуана Огюста Курно (1801 —1877).

Вотупрощенный пример модели, предложенной Курно. Предположим для простоты, что на рынке действуют всего две одинаковые фирмы (кстати, олигополистический рынок, на котором всего две фирмы, называют дуополией).

Пусть, к примеру, спрос¹ на этом рынке задается функцией Р = 100−0, где О — общий объем продаж обеих фирм (т.е. О = р, + <7₂, где р, и д₂ — объемы продаж первой и второй фирм соответственно), а функции издержек каждой фирмы задаются как ТС = Юр, и ТС = 10<7₂. Получается, что для каждой фирмы издержки зависят только от ее решений, а вот цена, установившаяся на рынке (а значит, также выручка и прибыль), — как от ее действий, так и от действий конкурента. Что бы ни делала каждая фирма, если ее конкурент продаст слишком много продукции, цена на рынке упадет. При этом каждая фирма, разумеется, хочет получить как можно большую прибыль для себя и совершенно не озабочена благосостоянием конкурента, но тот факт, что они действуют на общем рынке с сильным взаимным влиянием (совсем как слоны в лодке из нашего примера в § 4.1), волей-неволей заставляет их подстраиваться друг под друга.

С точки зрения первой фирмы, ее прибыль равна.

Если фирма хочет получить максимальную прибыль, математически задача сводится к нахождению максимума полученной функции при заданном д₂(это значение будем считать неизменным, т. е. константой). Для нахождения максимума^[1][2] функции берем производную от функции я, и приравниваем ее к нулю (вспомните математический комментарий к § 3.3):

откуда.

Если бы конкурента, второй фирмы, вообще не было бы в природе (р₂ = 0), первая фирма выпустила бы 45 ед. продукции, но если конкурент присутствует (с?₂ > 0), фирма будет вынуждена «потесниться» и сократить собственные продажи, чтобы не «сбить» цену на рынке.

Мы можем повторить аналогичные рассуждения для второй фирмы (так как для простоты мы считали фирмы одинаковыми, выкладки будут идентичными, за исключением индексов):

и прийти к аналогичному выражению:

Выражения с?, = 45 — 0,5р₂ (сколько продаст на рынке первая фирма в зависимости от действий второй) и д₂=45−0,5(7, (сколько продаст на рынке вторая фирма в зависимости от действий первой) называются функциями реакции. Как они работают?

Пусть, к примеру, первоначально первая фирма продала q?^ =40. Тогда вторая продаст <7₂ = 45 — 0,5 -40 = 25. Первая отреагирует на это сокращением продаж до с?, = 45 — 0,5 • 25 = 32,5, вторая в ответ продаст q₂ = 45 — 0,5 • 32,5 = 28,75 и т. д. Объемы продаж, которые установятся в конечном итоге, могут быть найдены в результате решения системы уравнений.

Решая ее, получим.

Фирмы, в результате взаимного приспособления, в конечном итоге поделят рынок пополам, и каждая из них будет получать прибыль, равную.

Этот конечный результат называют равновесием Курно. Также Курно рассматривал и более сложные случаи, с большим количеством фирм, причем необязательно одинаковых.

Генрих фон Штакельберг Используя наш числовой пример для модели Курно, мы можем также продемонстрировать модель олигополии, предложенную в 1934 г. немецким экономистом Генрихом фон Штакельбергом^[3] (1905—1946). Если в модели Курно две фирмы взаимно подстраиваются друг под друга, то в модели Штакельберга одна из фирм является лидером, а вторая — последователем. Лидер принимает решение первым, ставит последователя перед фактом, и своего решения уже не меняет. Последователь пассивно подстраивается под выбор лидера. Сколько продукции в таких условиях продаст фирма-лидер, чтобы получить максимальную выгоду для себя?

Предположим, в нашем числовом примере первая фирма является лидером, а вторая — последователем.

Предположим, что лидеру известна функция реакции фирмы-последователя, <7₂ = 45 — 0,5(7,. В этом случае ему известны ответные действия последователя (<7₂), «закодированные» в ней, в ответ на любые собственные действия ^1). Используя эту бесценную информацию при нахождении максимума собственной прибыли, лидер получит, что

Для того чтобы найти максимум функции, берем производную и приравниваем ее к нулю:

откуда q_} =45.

Итак, объем продаж лидера составит д, = 45, на что последователь вынужденно ответит объемом продаж, равным д₂ = 45 — 0,5 • 45 = 22,5. В данном случае получается, что лидер получит в два раза большую долю рынка и в два раза большую прибыль (попробуйте рассчитать ее самостоятельно)¹, чем последователь.

Интересно, что для покупателей олигополия Штакельберга выгоднее олигополии Курно. Так, в нашем числовом примере в первом случае суммарный объем продаж двух фирм составит 0=45 + 22,5 = 67,5 и рыночная цена Р=100 — - 67,5 = 32,5, а во втором случае суммарный объем продаж двух фирм составит 0=30 + 30=60 и рыночная цена Р= 100 — 60=40, т. е. в случае олигополии Курно цены на рынке будут выше.

Насколько реалистична модель, предложенная Штакельбергом? Будет ли фирма-последователь безропотно подстраиваться под диктат фирмы-лидера? Конечно, это будет происходить не всегда. Но в реальной бизнес-практике действительно иногда встречаются примеры отношений «лидер — последователь», например рассмотренная выше модель ценового лидерства. Давайте, в заключение этого длинного математического комментария, рассмотрим математическую формализацию и этой модели олигополистического взаимодействия на упрощенном числовом примере.

Предположим, спрос^[4][5] на рынке задается функцией О = 220 — 2Р, где С? — общий объем продаж фирмы — ценового лидера (с функцией издержек ТС_П — = 10д_л, где q_л — объем продаж фирмы-лидера) и фирм-последователей (пусть их суммарное предложение задается функцией q_п=^0P- 20, где q_n — объем продаж фирм-последователей).

Выражение д_п=10Р-20 похоже на функцию реакции в модели Штакельберга, только здесь последователей много и реагируют они не на объем продаж лидера, а на установленную им цену. Предположим вновь, что лидеру известна вся вышеприведенная информация. Как он может использовать ее с максимальной выгодой для себя?

Если лидер установит на рынке некую цену Р₀, покупатели по этой цене готовы будут приобрести 220 — 2Р₀ продукции, а последователи выбросят на рынок 10Р₀ — 20 продукции. На долю лидера останется q_n = (220 — 2Р₀) — (10Р₀ — 20) = = 240 — 12Р₀ продукции. Поучается, чем выше цену установит лидер, тем меньший «кусочек» рынка ему достанется (хотя, конечно, слишком низкую цену лидеру устанавливать тоже не хочется). Для поиска «золотой середины» опять привлечем математику.

Функция прибыли лидера может быть записана как

Выразим Р₀ в полученном нами выше выражении^[6] (д_л = 240 — 12Р₀) через д_л и подставим в функцию прибыли:

Тогда в ней останется только одна переменная и можно будет найти максимум функции, взяв производную и приравняв ее к нулю. Проделав это, найдем оптимальный объем продаж лидера:

откуда д_л = 60. Тогда.

Лидер установит на рынке цену Р₀ = 15, при этой цене величина спроса составит 220 — 2 • 15 = 190, последователи продадут 10 • 15 — 20 = 130, и на долю лидера останется д_л = 60.

Мы рассмотрели только некоторые простейшие модели олигополистического поведения из множества существующих, однако они уже дают представление о том, как многолика эта рыночная структура.

В следующем параграфе мы познакомимся со стратегией, которую часто используют для повышения своей прибыли фирмы, имеющие достаточно высокую рыночную власть — как правило, монополисты и олигополисты (работающие в условиях самых разных моделей олигополистического рынка).

Главное в нескольких словах

Модели олигополистического поведения крайне многообразны. Между олигополистами возможна и жесткая конфронтация (например, в случае ценовой войны), и кооперация (например, в случае картельного сговора). Возможны и другие модели взаимодействия (например, отношения «лидер — последователь»). Даже в случае совместных действий у фирм-олигополистов сохраняются стимулы к оппортунистическому поведению, при котором фирма-оппортунист получает выгоду для себя ценой небольших потерь для своих партнеров. Из-за этого даже взаимовыгодные объединения олигополистов нестойки и ненадежны. Теория игр, особый раздел математики, созданный для моделирования стратегических взаимодействий, может это наглядно продемонстрировать.

Дополнительные материалы по теме

Видео

• 1. Курс «Экономика» или «Экономика для неэкономистов». Лекция 5.12: «Олигополия».
• 2. Художественный фильм Р. Ховарда «Игры разума» {Universal Pictures, DreamWorks SGC), 2001 г.

Биографический фильм о жизни Джона Нэша, лауреата Нобелевской премии по экономике (1994), внесшего огромный вклад в развитие теории игр.

3. Если вас заинтересует теория игр, рекомендую далее замечательный курс «Теория игр» Д. Дагаева на международной платформе массовых открытых онлайнкурсов «Курсера». (URL: https://www.coursera.org/learn/game-theory).

• [1] В данном случае удобно воспользоваться обратной функцией спроса; прямые и обратные функции спроса упоминались в сноске к математическому комментарию в § 4.3.
• [2] Строго говоря, нужно еще доказать, что мы найдем именно максимум, а не минимум, но в данном случае у функции будет именно максимум. Попробуйте доказать это самостоятельно, используя свойства параболической функции.
• [3] В некоторых источниках используют другой русскоязычный вариант написания фамилии: Стакельберг. Кстати, родился будущий экономист в Москве, в немецкой семье, эмигрировавшей в Германию после революции.
• [4] Для ленивых: ответ 1012,5.
• [5] В данном случае удобно воспользоваться прямой функцией спроса.
• [6] Это выражение называют остаточным спросом — это спрос, который остался лидеру, после того, как свою продукцию продали все последователи.