Игровая модель олигополии: независимое поведение

Рассмотрим ситуацию, когда дуополии устанавливают свои выпуски каждый месяц, причем делают это одновременно, независимо друг от друга и не располагая информацией о выборе конкурента. Такое поведение дуополий является, по сути, игрой, «ходом» в которой служит ежемесячный выпуск дуополии, а выигрышем — ее прибыль за месяц.

Предположим, что каждая дуополия имеет два значения выпуска, тогда имеются четыре возможные комбинации действий. Каждой такой комбинации соответствует пара значений прибыли дуополий. Обозначим через а" прибыль первой дуополии, а через by — прибыль второй дуополии в том случае, когда первая из них выбрала /-й ход, а вторая — у-й ход (/, у = 1,2). Матрицу, А = {а у) называют матрицей выигрышей первой дуополии, а матрицу В = {by} — матрицей выигрышей второй дуополии.

Стратегией дуополии называют вектор, /-м элементом которого служит частота (вероятность) выбора /-го хода. Стратегию называют чистой, если один ее элемент равен единице, а остальные — нулю, т. е. выбирается один и тот же ход (выпуск). Прочие стратегии называют смешанными.

Оптимальной стратегией дуополии называют стратегию, которая обеспечивает дуополисту наибольший средний выигрыш (прибыль) за достаточно длительный период времени вне зависимости от поведения конкурента.

Решить игру — значит найти оптимальные стратегии дуополий и соответствующую пару значений средней прибыли. Алгоритм решения игры весьма сложен, поэтому мы будем искать осторожные стратегии дуополий, которые обычно близки к оптимальным стратегиям, и нередко совпадают с последними.

Для расчета осторожной стратегии дуополии надо определить минимально возможное (пессимистичное) значение прибыли при каждом ее ходе и найти максимальное (оптимистическое) из этих значений. Это число называют максимином матрицы выигрышей (максимин — максимум из минимумов), а соответствующую стратегию — осторожной. Если дуополия придерживается осторожной стратегии, то при любом поведении конкурента ее средняя прибыль будет не меньше максимина.

Пример 1. В табл. 9.2 представлены матрицы выигрышей дуополий. Из таблицы следует, что первая дуополия может устанавливать выпуски 50 или 100, а вторая дуополия — выпуски 40 или 90.

Таблица 9.2

Игровая модель олигополии: пример 1.

Определим осторожную стратегию первой дуополии, для этого найдем минимальное значение в каждой строке ее матрицы выигрышей (см. последний столбец таблицы). В первой строке минимальный элемент равен 5, а во второй — 4. Максимальное значение из этих чисел (максимин первой дуополии) равно 5. Следовательно, осторожной стратегией первой дуополии является производство продукции в объеме 50, при этом ее прибыль составит не менее 5. Осторожная стратегия первой дуополии выражается вектором (1; 0).

Определим осторожную стратегию второй дуополии, для этого найдем минимальное значение в каждом столбце ее матрицы выигрышей (см. последнюю строку таблицы). В первом столбце минимальный элемент равен 2, а во втором — 3. Максимальное значение из этих чисел (максимин второй дуополии) равно 3. Следовательно, осторожной стратегией второй дуополии является производство продукции в объеме 90, при этом ее прибыль составит не менее 3. Осторожная стратегия второй дуополии выражается вектором (0; 1).

Пример 2. Рассмотрим случай, когда цена на продукт дуополий устанавливается в соответствии с функцией рыночного спроса:

где Q — суммарный выпуск дуополий. Предельные издержки первой дуополии равны 40, а второй — 80. Постоянные издержки дуополий равны нулю, поэтому выручка каждой равна произведению объема выпуска и предельных издержек. Предполагается, что каждая дуополия может установить два выпуска: 30 или 60. Определим осторожные стратегии дуополий и соответствующие им значения прибыли. Найдем элементы матриц выигрышей дуополий.

Выпуск первой дуополии — 30, второй — 30. Суммарный выпуск равен 60, цена — 140, прибыль первой дуополии — 3000, второй — 1800.

Выпуск первой дуополии — 30, второй — 60. Суммарный выпуск равен 90, цена — ПО, прибыль первой дуополии — 2100, второй — 1800.

Выпуск первой дуополии — 60, второй — 30. Суммарный выпуск равен 90, цена — 110, прибыль первой дуополии — 4200, второй — 900.

Выпуск первой дуополии — 60, второй — 60. Суммарный выпуск равен 120, цена — 80, прибыль первой дуополии — 2400, второй — 0.

Матрицы выигрышей дуополий представлены в табл. 9.3. Из таблицы следует, что максимин первой дуополии равен 2400, а ее осторожная стратегия выражается вектором (0; 1). Максимин второй дуополии равен 900, а ее осторожная стратегия выражается вектором (1; 0).

Таблица 9.3

Игровая модель олигополии: пример 2.

В игровой модели дуополии Штакелъберга предполагается, что каждая дуополия имеет два варианта поведения: лидер и последователь. Рассмотрим простейший случай, когда дуополии одинаковы, т. е. их предельные издержки одинаковы, а постоянные издержки равны нулю. Введем следующее обозначение:

где а и Ъ — параметры линейной функции спроса, с — предельные издержки дуополии. Матрицы выигрышей дуополий представлены в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Игровая модель олигополии Штакельберга.

Из таблицы следует, что осторожной стратегией каждой дуополии является стратегия последователя, она гарантирует дуополии прибыль не менее d. Если обе дуополии придерживаются осторожной стратегии, то прибыль каждой из них равна 2d.