Контрольные вопросы и задания

• 1.1. Определите предмет изучения физики и механики.
• 1.2. Определите предмет изучения кинематики, динамики и статики.
• 1.3. Приведите примеры, когда можно и когда нельзя считать человека материальной точкой.
• 1.4. Звук в твердом теле распространяется как продвижение деформации слоя атомов. Какой должна быть скорость звука в абсолютно твердом теле? Почему абстракция абсолютно твердого тела противоречит релятивистской механике, постулирующей ограниченность максимальной скорости сигнала скоростью света в вакууме?
• 1.5. Перечислите отличия перемещения от пройденного пути.
• 1.6. Перечислите примеры, когда модуль перемещения равен пройденному пути.
• 1.7. Почему в физике не принято определят!, скорость как путь, пройденный за определенное время?
• 1.8. Приведите примеры, когда направление ускорения совпадает и не совпадает с направлением скорости.
• 1.9. Охарактеризуйте тангенциальное, нормальное и полное ускорения при различных указанных в главе видах движения.

Задачи с решениями

1.1. Точка движется в плоскости по закону (система СИ):

Найдем уравнение траектории и модуль скорости при t = 3 с.

Решение

Для получения траектории выразим из первого уравнения время: t = х — 1 и подставим его во второе уравнение: у = х (.г — 1) — искомая траектория (парабола). Проекции скорости на координаты находим как производные от координат:

Модуль скорости находим по теореме Пифагора через проекции скорости на координаты:

Модуль скорости при t = 3 с равен v = 750 ~ 7,1 м/с.

1.2. Координата тела, выраженная в метрах, зависит от времени, выраженного в секундах, по закону х = 2cos2f. Найдем максимальное ускорение тела.

Решение

Ускорение равно второй производной от координаты по времени. Поскольку.

то получим для ускорения.

Значение косинуса лежит в пределах от -1 до 1. Поэтому, очевидно, максимальное ускорение тела равно 8 м/с².

1.3. Тело запущено с поверхности земли вертикально вверх так, что за время t— 12с оно прошло путь S = 400 м. Чему равна его начальная скорость?

Решение

Для того чтобы тело двигалось вверх время ?, = 12 с, необходимо, чтобы его начальная скорость равнялась V = gt, = 120 м/с. Тогда высота подъема составит.

что превышает требуемые 400 м. Следовательно, начальная скорость меньше, а искомый путь достигается на участке полета, на котором тело движется вниз.

В связи с этим главной проблемой задачи является то, что требуется найти не перемещение, а путь, равный сумме модулей перемещений вверх и вниз.

Время перемещения вверх равно ?, = V/g.

Время перемещения вниз t₂ связано с перемещением вниз S;.

Выразив из данного уравнения t₂, из условия ?, +1₂ = t получим квадратное уравнение относительно V:

Это уравнение для заданных условий имеет два решения:

При знаке «минус» и начальной скорости 40 м/с получается сначала движение вверх на 80 м, а затем движение вниз на 320 м, т. е. тело уйдет под землю, что не рассматривается. Таким образом, искомая начальная скорость определяется решением.

и равна 80 м/с.

1.4. Два тела брошены из одной точки вверх с одинаковой скоростью 20 м/с с интервалом времени 5 с. Через какой интервал времени после бросания первого тела они встретятся вновь?

Решение

Время в полете брошенного вертикально вверх тела равно t = 2v₀/g = 4 с, что меньше интервала времени между началом движения первого и второго тел. Следовательно, встреча тел произойдет еще до того, как начнет движение второе тело, т. е. искомый интервал равен / = 4 с.

1.5. Два тела брошены из одной точки вверх с одинаковой скоростью 20 м/с с интервалом времени 2 с. Через какой интервал времени после бросания второго тела они встретятся вновь?

Решение

Для равноускоренного движения с направленной вверх начальной скоростью н₀ где т — интервал времени между началом движения первого и второго тел.

Условие встречи тел й, = й₂ =>

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение.

откуда искомый интервал времени после бросания второго тела до встречи равен.

1.6. Тело падает с высоты h. Разделим эту высоту на три отрезка так, чтобы на прохождение каждого из них потребовалось одинаковое время.

Решение

гг и + Щ

Полное время падения с высоты п равно t = —.

V S

^ , _t _ sjlh/g

1огда время пролета первого искомого отрезка равно ?, ~ —-—* что даст О «3.

для первого искомого отрезка h_x = gtf/2 = h/9.

" , 2t 2 Щ

Время пролета первого и второго отрезков равно г₁₂⁼ — ⁼ — J—, откуда длина.

3 3 g

первых двух отрезков равна /z₁₂ = gt₂/2 = Ah/9. Следовательно, длина второго искомого отрезка равна h₂ = h_{2 — h_x = h/3.

Таким образом, длина третьего искомого отрезка равна h₃ = h — h_{2 = 5А/9.

1.7. Тело, брошенное с начальной скоростью v₀ = 2 м/с вниз под углом, а = 30° к горизонту, упруго ударяется о параллельные стенки колодца. Глубина колодца h = 10 м, расстояние между стенками колодца / = 1 м. Сколько раз тело ударится во время падения о стенки колодца?

Решение

Время падения t находится из уравнения для равноускоренного движения по вертикали.

откуда положительное решение квадратного уравнения даст.

Время полета тела от одной стенки до другой т определяется горизонтальной составляющей скорости т = l/(v_Qcos а).

Количество раз п, которое тело ударится о стенки колодца, равно целой части числа t/v.

Извлечение целой части дает п = 4.

1.8. При движении колонны автомобилей с достаточно высокой скоростью V комки грязи с колес автомобиля могут попасть в следующую за ним машину. Чему равна безопасная дистанция между автомобилями?

Решение

Удобно перейти в систему координат, связанную с кузовами автомобилей. В этой системе сами автомобили неподвижны и лишь их колеса совершают вращательные движения. При этом линейная скорость края колеса (и отрывающегося от этого края комка грязи) равна V, однако в каждой точке имеет свое направление. В соответствии с применимой в этой инерциальной системе теорией движения тела, брошенного под углом к горизонту, максимальная дальность достигается при угле 45°. Горизонтальная дальность полета комка определяется произведением горизонтальной составляющей скорости и времени полета комка, которое, в свою очередь, определяется вертикальной составляющей скорости. В результате безопасная дистанция должна составлять не менее горизонтальной дальности полета комка V²/g. Следует отметить, что при достаточно большой скорости горизонтальная и вертикальная дальности полета комка достаточно велики, так что расстояниями порядка радиуса колеса можно пренебречь.