Уравнения Лагранжа второго рола

При дальнейшем изложении звездочка при иекоисервативной обобщенной силе Q* будет опущена.

При A_ik=a_lk = const после подстановки (3.2), (3.5) в (З.б) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

В инерционных и квазиупругих коэффициентах, входящих в систему уравнений (3.7), первый индекс j отвечает номеру уравнения, а второй k - номеру обобщенного ускорения или обобщенной координаты.

Особая форма уравнений Лагранжа второго рода с избыточными координатами

При составлении систем дифференциальных уравнений для моделей, включающих цикловые механизмы, коэффициенты A_ik в выражении для кинетической энергии чаще всего не могут быть приняты постоянными, так как одна или несколько обобщенных координат не являются малыми величинами (см. выше). Такой координатой, например, является координата заданного программного движения входного звена системы <�р₀(?). В случае А_)кФ const при подстановке (3.2) в (3.6) приходится осуществлять дифференцирование сложных выражений и производить громоздкие преобразования. Существенного упрощения можно достичь введением избыточных координат, устраняющих необходимость предварительного выражения всех координат системы через независимые обобщенные координаты. Пусть кроме Я обобщенных координат q_v …, q_H используются п избыточных координат <7_//+1> …, q_H+n. Уравнения Лагранжа с избыточными координатами при голономных, стационарных и идеальных связях имеют вид [9* ].

где Л, — множители Лагранжа; Фуравнения связи, заданные в неявной форме.

Физический смысл членов с множителями Лагранжа связан с появлением дополнительных реакций идеальных связей, которые в отличие от (3.6) в данном случае не полностью исключаются из уравнений Лагранжа второго рода из-за превышения числа координат Н + п над числом степеней свободы Я.

Выберем избыточные координаты таким образом, чтобы, но всем координатам dT/dq_j: = 0; при этом для всех сочетаний i и k имеем A_lk=a_ik = const. Следовательно, при линейных упругих характеристиках выражения для кинетической и потенциальной энергии относительно всех координат, включая избыточные, опять имеют вид квадратичных форм (3.2) и (3.5). При этом соответствующая система дифференциальных уравнений может быть записана аналогично (3.7):

Множители Лагранжа могут быть выражены из любых Я + п уравнений системы (3.8), однако наиболее просто они определяются при принятой индексации координат из последних п уравнений.