Методы стохастического имитационного моделирования

Теоретические основы моделирования недетерминированных систем

Модели системной динамики могут быть недетерминированными. Стохастическое моделирование — имитационное моделирование процесса, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными величинами.

Существует два вида неопределенности в имитационных моделях — нечеткость и вероятность. Вначале рассмотрим нечеткое моделирование. Данный подход применяется в основном при наличии информации лишь об интервалах достоверности моделируемых параметров. Например, известно, что спрос на продукцию некоторой компании лежит в заданном диапазоне. При этом точное значение спроса (математическое ожидание) спрогнозировать невозможно, а значения верхней и нижней границ интервала достоверности можно определить экспертным путем.

В теории нечетких систем выделяются нечеткие множества, которые определяются на оси действительных чисел. Например, нечеткие множества чисел, «близких числу 5», определены на множестве R и, кроме того, являются нормальными и выпуклыми, а также имеют непрерывные функции принадлежности. В соответствии с известным определением^[1], нечетким числом называется нечеткое множество Л, определенное на множестве действительных чисел Л с;/?, функция принадлежности которого р_л :/?[0;1] отвечает следующим условиям:

1) sup (p ₁(х)) = 1, т. е. нечеткое множество Л нормализовано;

хеХ

• 2) p,(.r)>0 VxeX;
• 3) множество Л выпукло.

В теории нечетких множеств применяются мягкие вычисления — так называемая нечеткая арифметика, которая вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе сегментного принципа.

Зададим уровень принадлежности, а как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Тогда для фиксированного, а можно определить соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам А и В: [а,;я₂] и | b_t; b₂ | соответственно. В результате основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. При этом эти операции выражаются через операции с действительными числами — границами интервалов.

Основными операциями нечеткой арифметики являются следующие.

• 1. Операция «сложения»: [a_v a₂(+)[b_vb₂] = [a_x+b_v а₂+Ь₂.
• 2. Операция «вычитания»: [a_va₂{-)_vb₂]=[a_l-b_va₂-b₂.
• 3. Операция «умножения»: [", а₂(х)[&, Ь₂ = [",&, а₂Ь₂].
• 4. Операция «деления»: [a_va.₁(/)[b_vb.₁ = a_l/b_va₂/b.₁.
• 5. Операция «возведения в степень»: [a_v а₂|(^л)/' = [а[, а'₂ .

Имеются и более сложные операции с нечеткими множествами, в том числе операции интегрирования и дифференцирования нечетких функций.

Поддержка сложных методов и операций нечеткого моделирования реализована в системах Matlab и Fuzzytech.

Простой пример использования мягких вычислений (операции «сложения») в системе имитационного моделирования Powersim представлен на рис. 4.1. Реализуется сложение двух нечетких чисел А с интервалом достоверности [4; 6] и В с интервалом достоверности [8; 12].

Модель, представленную на рис. 4.1, можно дополнить, например, операцией интегрирования (по модельному времени) с помощью системного уровня (Level_l) с одним измерением, состоящим из двух элементов (1.2), для записи соответствующих интервальных значений нечеткого потока с интервальным диапазоном [c_t, с₂] (рис. 4.2).

Здесь скорость потока Rate_l и уровень Level_l имеют следующую реализацию:

dim Ratc l: 1.2.

aux Rate_l: {cl;c2}*l"l/da>>} dim Level l: 1.2 init Level 1: 0.

Puc. 4.1. Простой пример использования мягких вычислений в системе Powersim.

Рис. 42. Пример использования операции интегрирования нечеткой функции в системе Powersim.

Таким образом, стандартные операции мягких вычислений в системе имитационного моделирования вполне реализуемы.

В то же время во многих недетерминированных системах помимо граничных значений интервалов достоверности моделируемых параметров известными являются некоторые другие важные характеристики (например, вид функции распределения случайной величины на заданном интервале и т. д.). В этом случае более точный результат даст применение вероятностных методов имитационного моделирования.

Для учета влияния вероятностных характеристик в имитационных моделях используются специальные методы Монте-Карло.

Методы Монте-Карло (Monte-Carlo simulation) — численные методы, основанные на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи [20].

Такие методы позволяют оценивать величины, о которых нам известна лишь форма распределения их вероятности.

В частности, имитационное моделирование рисков по методу Монте-Карло позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию), получить распределение доходности проекта.

Задача бизнес-аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой переменной вид вероятностного распределения; оценить разброс исследуемых характеристик, зависящих от рискфакторов; вычислить математическое ожидание целевого функционала модели (ключевых показателей).

Напомним некоторые базовые понятия теории вероятностей.

Случайным называют такое явление, которое при неоднократном его воспроизведении протекает каждый раз несколько по-иному, т. е. факторы, влияющие на явление, определены неполностью.

Случайная величина — это такая переменная величина, которая в зависимости от случайного исхода некоторого эксперимента может принять одно из своих возможных значений, но неизвестно, какое именно. Обычно случайные величины обозначаются прописными буквами конца латинского алфавита: X, У, Z Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими строчными буквами.

Числовое значение х_у которое приняла случайная величина X в каком-либо конкретном эксперименте, называется реализацией этой случайной величины. Множество всех значений, которые может принимать случайная величина X, называется областью возможных значений X.

Рассмотрим простую задачу на применение метода МонтеКарло.

На интервале [-1; 1] будем генерировать координаты точек X и Y случайным образом. N₀ — общее количество точек; N_R — количество точек, попавших внутрь круга радиусом R = 1. Условие попадания внутрь круга — X² + У² < R² = 1. Тогда можно определить число л со сколь угодно большой наперед заданной точностью (рис. 4.3):

Рис. 4.3. Иллюстрация простого использования метода Монте-Карло для вычисления числа тт.

Для корректного применения методов Монте-Карло в имитационных моделях рекомендуется следующая процедура.

• 1. Анализ статистических данных. Выявление ключевых рискфакторов.
• 2. Определение функций распределения, соответствующих выбранным риск-факторам, и параметров вероятностного распределения (математического ожидания, квадрата отклонения, граничных значений и др.) на основе исторических данных (либо экспертным путем).
• 3. Выбор количества прогонов для модели (например, тысяча прогонов).
• 4. Выбор целевых показателей для оценки влияния рискфакторов и фиксация характеристик распределения для целевых показателей, вычисляемых в результате имитационных экспериментов (граничные значения, среднее значение, квартили и т. д.).
• 5. Выполнение прогонов (имитационных экспериментов). Статистический анализ полученных результатов.

На первом этапе осуществляется выявление основных рискфакторов. Для этих целей применяются различные методы. К риск-факторам прежде всего относятся показатели, представляющие собой нестационарные временные ряды (например, динамика курса валют, процентные ставки и т. д.), показатели, характеризуемые сильной волатильностью, и другие характеристики, динамика которых трудно прогнозируема.

Далее осуществляется определение функций распределения, соответствующих выбранным риск-факторам, и значений параметров вероятностного распределения. Также применяются тесты на принадлежность выборки одному распределению (такие как двухвыборочный тест Колмогорова — Смирнова, робастный тест и др.). Для риск-факторов, имеющих нормальное распределение (что может быть подтверждено оценкой значения критерия согласия хи-квадрат), вычисляются математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и другие параметры. Данные характеристики в дальнейшем используются в стохастической модели в системе Powersim.

• [1] Рутковская Д., Пилинъский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетическиеалгоритмы и нечеткие системы / пер. с польск. И. Д. Рудинского. М.: Горячаялиния — Телеком, 2006.