Идеализированные математические модели смесительных емкостей
На первом этапе выбирается или строится прототип объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие его частям. Математическая модель и ее составляющие исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте. Двухъячеечный рециркуляционный бак (далее — бак) состоит из двух последовательно… Читать ещё >
Идеализированные математические модели смесительных емкостей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта (явления, процесса) его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод конструирования и проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам. На математических моделях выполняют контролируемые эксперименты в тех случаях, когда экспериментирование на реальных моделях практически невозможно из-за отсутствия последних или возникающей во время экспериментов опасности (сети энергоснабжения, химические производства).
Сегодня постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: «модель-алгоритм-программа».
На первом этапе выбирается или строится прототип объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие его частям. Математическая модель и ее составляющие исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.
Второй этап — выбор или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью.
На третьем этапе алгоритмы переводятся на язык ЭВМ в виде списка команд или объектов (для программ, использующих объектно-ориентированную модель программирования).
После соответствия модели исходному объекту, с ней проводятся разнообразные опыты, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением всех звеньев модели.
1. Открытая проточная емкость с вентилями на входе и выходе
1.1 Физическое описание
Принимаем, что гидравлическая емкость (рис 1.1) имеет правильную форму, тогда площадь поперечного сечения емкости S=const, и объем жидкости (или газа) в емкости можно вычислить по формуле V=SH, где H — высота уровня жидкости. Входной поток F1 поступает через вентиль В1, на который действует разность давлений P1P2 (P1 до вентиля и P2 после вентиля). Выходной поток F2 отводится через вентиль В2, на котором устанавливается разность давлений P2P3 (P1 до вентиля и P2 после вентиля). В отличие от обобщенной модели емкости, где неизвестен вид функции расхода, здесь предполагается, что функция зависимости расхода через вентиль от перепада давлений известна, а также учитывается влияние на давление P2 изменения уровня жидкости в емкости.
Рисунок 1.1. Емкость переменного объема.
1.2 Уравнения баланса емкости
Математическая модель проточной емкости с вентилями на входе и выходе содержит следующие уравнения: — уравнение материального баланса, записанное относительно скорости изменения высоты уровня жидкости в аппарате,
; - уравнение расхода через вентили
где КВ1, КВ2 — известные коэффициенты пропускной способности через вентили В1 и В2 соответственно;
— уравнение, связывающее давление P2 с давлением P0 на поверхности и величиной гидростатического напора Н,
где =g — удельный вес жидкости; P0 — равно внешнему давлению, если емкость негерметична.
1.3 Математическая модель емкости
Анализ математического описания показывает, что независимыми переменными являются давления P0, P1 и P3; неизвестные переменные, вычисляемые в процессе моделирования — H, F1, F2 и P2. Решение системы является единственным при заданных P0, P1, P3 и H (0).
Зададим начальные значения независимых переменных и построим математическую модель емкости в Simulink’е:
H0= 2 м;S=1 м2; P0=1 атм; P1=1~4 атм; P3=1.5 атм; k1=1; k2= 1;Hкон=8 м;
Настройки PID-регулятора:
математический моделирование смесительный бак
kp=0.1550; ki=0.0097; kd=0,2571;
Рисунок 1.2 Основная модель системы.
Где блок Diffur — основное дифференциальное уравнение системы;
Рисунок 1.3. Модель зависимости давления на вентиле № 1 от сигнала с PID-контроллера.
Рисунок 1.4 Дифференциальное уравнение емкости.
блоки NCD Outport 1 и 2 — (HControl и PID Control) — предназначены для поиска оптимальных коэффициентов PID-регулятора, которые задаются как переменные Matlab’а, при изменении заданной высоты и пропускной способности первого вентиля.
Рисунок 1.5. График зависимости H (t).
2. Двухъячеечный рециркуляционный бак с обратным потоком
2.1 Физическая модель
Двухъячеечный рециркуляционный бак (далее — бак) состоит из двух последовательно соединенных ячеек, между которыми существует связь в виде потока f концентрации С2 в первую ячейку и (f+F1) концентрации С1 во вторую, где и происходит окончательный вывод суммарного потока (F1+F2) концентрации С2 за пределы бака.
Рисунок 2.1. Структурная схема рециркуляционного бака.
2.2 Дифференциальные уравнения баланса ячеек бака
Математическая модель бака описывается дифференциальными уравнениями зависимости концентрации С1 и С2 в обеих ячейках от входящих потоков F1, F2, потока перемешивания f, концентрации растворенного вещества во входящих потоках C1вх и C2вх и в начальный момент времени С0.
;
— дифференциальное уравнение для концентрации C1 в первой ячейке;
;
— дифференциальное уравнение для концентрации C2 во второй ячейке;
2.3 Анализ математической модели бака
Запишем начальные условия для математической модели:
F1=0.05 м3/c; F2=0~0.1 м3/c; f=0.05 м3; V1=2 м3; V2= 3 м³; С0=0.45; C1вх=0.3; C2вх=0.8; C2вых=0.6;
Коэффициенты PID-регулятора: kp=6.3864; ki=5 297;
Анализ математической модели бака показывает, что по сравнению с моделью идеального перемешивания в баке с двумя и более ячейками с рециркуляцией перемешивание между тремя соседними происходит менее интенсивно, вследствие чего в целом выравнивание концентрации по всем ячейкам не происходит. Если по очереди самую крайнюю ячейку заменять на поток (Fj+f) c концентрацией Cj (в данном примере первую ячейку можно заменить на поток F1+f концентрации C1), то в итоге мы придем к модели идеального перемешивания (при n1).
Рисунок 2.2. Общая модель бака.
Рисунок 2.3. Дифференциальное уравнение для концентрации в первой ячейке.
Рисунок 2.4 Дифференциальное уравнение для концентрации во второй ячейки.
— Блоки Diffur1 и Diffur2 — дифференциальные уравнения концентраций.
Рисунок 2.4. Зависимость С (t).
3. Смесительный бак идеального перемешивания
3.1 Физический смысл
В смесительный бак поступает жидкость в виде двух потоков заданного расхода с различной температурой. Требуется, изменяя температуру одного из потоков, получить на выходе суммарный поток заданной температуры.
3.2 Дифференциальное уравнение зависимости температуры от времени
Зависимость температуры в баке описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
Начальные условия:
Т1=20 С; Т2=40~80 С; V1=1 м3; Tвых=40; F1=0.07 м3/c; F2=0.04 м3/c;
Настройки PID-регулятора: kp=0.0647; ki=0.017;
Рисунок 2.2. Основная модель бака.
Рисунок 2.3. Дифференциальное уравнение
2.4. График зависимости Т (т).
Заключение
В выше перечисленных идеализированных моделях зависимость одних параметров от других выражается одним, реже двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, решение которых можно довольно легко рассчитать численными методами в приложении Matlab’a — Simulinke. Нахождение решения более сложных реальных моделей — с учетом всех потерь — занимает гораздо больше как человеческого, так и машинного времени, но оправдывает себя в повседневной жизни, поскольку этим закладываются в модель сразу практически все необходимые параметры и задаются условия, в которых модель должна находиться в течение ее срока службы.
Список использованных источников
1. Закгейм А. Ю./ Введение в моделирование химико-технологических процессов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Химия, 1982. — (серия «Химическая кибернетика») 288 с., ил.
2. Кафаров В. В., Глебов М.Б./ Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 1991. — 400 с.: ил.
3. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учебное пособие/ О. М. Алифанов, П. Н. Вабищев, В. В. Михайлов и др. — М.: Логос, 2001. — 400 с.: ил.
4. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. — М.: испр. — М.: Физматлит, 2001. — 320с.
5. Селиверстов В. М., Бажан П. И. Термодинамика, теплопередача и теплообменные аппараты: Учебник для институтов водн. трансп. — М. Транспорт, 1988. — 287 с.
6. Скурихин В. И. и др. Математическое моделирование. В. И. Скурихин, В. Б. Шифрин, В. В. Дубровский. _ К.: Техніка, 1983. -270 с., ил.- Библиогр.: с. 265 — 269.
7. Теория тепломассообмена: Учебник для технических университетов и вузов / С. И. Исаев, И. А. Кожинов, В. И. Кофанов и др.; Под ред. А. И. Леонтьева. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997. — 683 с.