Идентификация динамических объектов

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Московский государственный открытый университет Чебоксарский политехнический институт Кафедра Управления и информатики в технических системах

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: Идентификация и диагностика систем управления

Выполнил: студент Заочного отделения, курс 3

Клепцова Наталья Николаевна Проверил: Изосимова Т.А.

1. Теоретические вопросы

1.1 Активный и пассивный эксперименты идентификации объектов

1.2 Полный факторный эксперимент

1.3 Метод наименьших квадратов

1.4 Регрессионный анализ

2. Расчетная часть

1. Теоретические вопросы

1.1 Активный и пассивный эксперименты идентификации

объектов

идентификация динамический факторный эксперимент

Идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры и параметров по наблюдаемым данным — входному воздействию и выходным величинам. В этом случае объект (элемент системы, объект управления, элемент технологического процесса и т. п.) представляет собой «черный ящик».

Рис. 1

Каждый из факторов может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Каждый фактор имеет определенное число дискретных уравнений.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний черного ящика. Если перебрать все возможные выборы состояний, то получим полное множество различных состояний данного ящика (объекта исследований). Одновременно это будет число возможных различных опытов. Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов возвести в степень числа факторов: , где — число уравнений.

Планирование эксперимента предполагает активное и пассивное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Методы идентификации объектов принято разделять на две группы:

1. Пассивный эксперимент идентификации объектов.

2. Активный эксперимент идентификации объектов.

Пассивный эксперимент идентификации объектов — производится сбор и анализ информации о состоянии технологических параметров объекта без специального изменения входных параметров процесса.

Достоинства данного метода — практически полностью отсутствуют затраты на эксперимент.

Недостатки:

1. В нормальных условиях эксплуатации колебания технологического режима невелики и поэтому экспериментальные точки близки друг к другу. В этих условиях на точность описания могут сильно повлиять случайные ошибки.

2. Необходимо иметь достаточно большое количество экспериментальных данных.

Данный метод применяется в том случае, если из множества всех наблюдаемых сигналов можно выделить подмножество независимых составляющих. Такая возможность существует, например, при выполнении каскада различных фигур высшего пилотажа высокоманевренным самолетом. Вместе с тем пассажирские самолеты, дальние бомбардировщики и военно-транспортные самолеты являются маломаневренными самолетами. Все полетные задание таких самолетов, как правило, сводится к взлету, набору высоты, координированным разворотам, планированию и посадке. Из синхронных записей управляющих воздействий не всегда удается выделить необходимые для идентификации независимые составляющие управляющих воздействий.

Активный эксперимент идентификации объектов состоит в целенаправленном изменении входных параметров технологического процесса. В основе этого метода лежит планирование эксперимента.

Практически все процессы химической технологии являются сложными и на показатели процесса оказывают влияние большое число факторов. Возможны два подхода к исследованию таких многофакторных систем. Первый основан на том, что исследование объекта разбивается на серии, в каждой из которых исследуется изменение только одного параметра при фиксированных остальных. Второй подход основан на построении плана эксперимента, который предусматривает изменение всех влияющих факторов. Такой план должен обеспечить максимум точности и минимум корреляции. Такой эксперимент называют многофакторным.

Достоинством первого подхода является его наглядность и простота интерпретации получаемых результатов. Второй подход значительно эффективнее — при том же объеме экспериментальных исследований и той же точности опытов получается существенно большая точность результатов.

Активный эксперимент позволяет за счет целенаправленного изменения входных параметров получать необходимый объем информации при существенно меньшем числе опытов, чем при пассивном эксперименте.

1.2 Полный факторный эксперимент

Перед планированием эксперимента необходимо определить область эксперимента, учитывая при этом следующие соображения:

1. Прежде всего, надо оценить границы областей определения фактора. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов:

Первый тип: принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор — температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип: ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (стоимость сырья, время процесса и т. д.).

Третий тип: ограничения, с которыми чаще всего приходится иметь дело, определяются конкретными условиями проведения процесса (технологией, существующей аппаратурой и т. д.).

2. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. И информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (примерные графики, таблицы).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уравнений факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ.).

Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Данная таблица называется матрицей планирования эксперимента (МПЭ).

Отметим ряд свойств, которыми обладает МПЭ. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы:

1) Симметричность относительно центра эксперимента — алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или, где — номер фактора, — число опытов, .

2) Нормирование — сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, то есть

.

Первые 2 свойства вытекают из отдельных столбцов МПЭ. Теперь отметим свойства, вытекающие из совокупности столбцов.

3) Ортогональность МПЭ — сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов МПЭ равных нулю

.

4) Ротатабельность, то есть точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Вернемся к матрице для движения в точке оптимума воспользуемся линейной моделью

.

Наша цель — по результатам эксперимента найти коэффициент модели. В данном случае эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель

адекватна, где — истинные значения соответствующих неизвестных, а — оценки. Коэффициенты модели вычисляются по очень простой формуле:

Коэффициенты при независимых ~ указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор.

Если коэффициент имеет значок «+», то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, значок «-» — то уменьшается.

Рассмотрим влияние температуры и времени пребывания на выход продукта. Математическую модель получим в виде полинома 1-й степени линейного уравнения регрессии

.

Для этого используем планы 1-го порядка, которые строятся следующим образом. Выбирается центр исследуемой области (центр плана), и в него переносится начало координат. Задаются минимальные (min) и максимальные (max) значение входных параметров и. Составляем план эксперимента (рис. 2). При этом каждый фактор принимает лишь два значения — варьируется на двух уровнях (верхнем и нижнем).

Рис. 2

На следующем этапе переменные кодируются. При этом координаты центра плана приравниваются к нулю, а интервалы варьирования принимают за единицу. Кодированные переменные значительно облегчают обработку результатов опытов, которая в данном случае проводится в стандартной форме, не зависящей от конкретных условий задачи.

Матрица планирования для кодированных переменных имеет вид:

На практике для сокращения записи часто вместо «+1» и «-1» просто пишут «+», «-». Рассматриваемый план построен так, что каждый фактор варьируется на двух уровнях, причем в опытах перебираются все возможные комбинации двух уровней факторов.

1.3 Метод наименьших квадратов

Одним из важных методов приближения функций является метод наименьших квадратов (МНК), который для выражений определённого вида обеспечивает наилучшее приближение к исходным данным. Он был разработан около 200 лет назад усилиями Лежандра и Гаусса.

Рекомендуется применять метод наименьших квадратов отклонений не для исходной задачи, которая имеет нелинейный характер, а для приведённой линейной задачи, когда правые и левые части соответствующих функциональных зависимостей логарифмируются. Такой переход обусловлен в основном двумя причинами:

1) в математическом плане решение линейной системы проще, чем нелинейной;

2) для линейной модели сравнительно легко находятся стохастические оценки соответствующих параметров.

Существо метода рассмотрим на простом примере: один фактор, линейная модель.

Рис. 3

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой точки было бы справедливо равенство.

где — номер опыта. На практике это условие не выполняется.

где — разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями вой экспериментальной точке (невязка).

Коэффициент регрессии определяется при условии, когда сумма всех невязок min, то есть

либо .

Из курса математики известно, что минимум некоторой функции, если он существует, достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по всем неизвестным, то есть

.

Отсюда берутся уравнения для определения коэффициентов регрессии. Формулу для вычислений коэффициента можно записать так:

— номер факторов, .

1.4 Регрессионный анализ

Как только мы начинаем говорить о пригодности модели или о значимости коэффициентов, приходится вспоминать о статистике: и с этого момента МНК превращается в регрессионный анализ.

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах:

Постулат №1. Параметр оптимизации есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости — одна из характеристик этого закона распределения.

Постулат №2. Дисперсия не зависит от абсолютной величины .

Постулат №3. Значения факторов суть не случайные величины. Это утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Проверка адекватности модели. Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, то есть дисперсии адекватности .

где — число опытов (МПЭ),

— число коэффициентов модели.

— разность между реальным значением и предсказанным по модели.

Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Например, проведен полный фактический эксперимент и нашли линейное уравнение регрессии,

.

Примечание: Параллельные опыты нельзя считать самостоятельными, так как они дублируют друг друга. В связи с этим, они все дают одну степень свободы.

Необходимо запомнить правило:

В планировании эксперимента число степеней свободы для равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F критерием Фишера и определяется:

где — дисперсия адекватности;

— дисперсия воспроизводимости.

Удобство использованиякритерия состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя строки для знаменателя. На пересечении соответствующих строки и столбца стоят критические значения — критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0,05.

Если рассчитанное значениекритерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения гипотеза отвергается. Для запишем общую формулу:

где — число опытов;

— число параллельных опытов вой строке матрицы;

— среднее арифметическое из, параллельных опытов;

— предсказанное по уравнению регрессии значение в этом опыте.

2. Расчетная часть

Расчет линейной модели вида

по данным, представленным в таблице 1.

Таблица 1

Необходимо:

1. Определить коэффициенты модели .

2. С помощью критерия Стьюдента проверить сомнительные опыты.

3. Произвести проверку однородности дисперсий с помощью критерия Фишера или Кохрена. Найти дисперсию воспроизводимости.

4. Оценить адекватность полученной модели.

5. В случае если модель оказалась адекватной, определить значимые коэффициенты.

Решение:

1. Определим коэффициенты модели. Для этого найдем среднее арифметическое из параллельных опытов:

Полученные результаты запишем в таблицу 2.

Таблица 2

2. С помощью критерия Стьюдента проверим сомнительные опыты. Для этого исключим первый параллельный опыт из расчета и найдем среднее арифметическое и С.К.О. по остальным 2 параллельным опытам:

Найдем дисперсии каждого опыта:

где — число степеней свободы.

Произведем проверку по критерию Стьюдента:

Проверим таким же образом все другие опыты, результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3

Из таблицы Стьюдента при числе степеней свободы находим и сравниваем с .

поэтому результат 5-го опыта можно считать браком.

Определим новое значение 5-го опыта для :

Получим новую матрицу планирования эксперимента (таблица 4).

Таблица 4

Для новой матрицы найдем коэффициенты модели. Полученные результаты запишем в таблицу 5.

Таблица 5

Уравнение регрессии примет вид:

3. Произведем проверку однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена. Найдем дисперсию воспроизводимости.

Таблица 6

Вычислим экспериментальный критерий Кохрена:

Табличный критерий Кохрена равен. , следовательно, дисперсии однородны.

Дисперсия воспроизводимости будет равна:

4. Оценим адекватность полученной модели. Для этого найдем дисперсию адекватности:

Полученные результаты занесем в таблицу 7.

Таблица 7

Определим экспериментальный критерием Фишера и определяется

следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной.

5. Проверку значимости коэффициентов проводить нецелесообразно.

6. Линейная модель будет иметь вид:

1. Адлер Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.: Наука, 1971.

2. Теоретические основы планирования экспериментальных исследований. / Под ред. Круга Г. К. — М.: МЭИ, 1973.

3. Ивоботенко Б. А. Планирование эксперимента в электромеханике. — М.: Энергия, 1975.

4. Планирование эксперимента. Учебное пособие по дисциплине «Идентификация и диагностика систем управления». — Чебоксары, 2007.