Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической механики КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы»

по разделу «Динамика»

Кафедра теоретической механики Рецензия На курсовую работу Студента __Кисова Ивана____________

(фамилия, имя, отчество) Группы _121 142__________________

Вариант № ___ количество страниц Курсовая работа по содержанию соотве;

тствует / не соответствует выданному заданию и выполнена в полном / не в полном объеме.

КР может быть допущена к защите с добавлениембаллов рецензента после успешной защиты.

Рецензент_______ /_____________

(Ф.И.О.)

«____"_____________200 г.

ТУЛА 200

Аннотация Содержание задания

1. Применение основных теорем динамики механической системы Постановка второй основной задачи динамики Определение закона движения системы Определение реакций внешних и внутренних связей Построение алгоритма вычислений Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера — Лагранжа Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода Анализ результатов Список использованной литературы

Аннотация

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F (t) = F₀ * sin (pt).

Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты т_np, п, к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей

Содержание задания

Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F (t).

Исходные данные:

M1, М2, М3 — массы тел механической системы.

с — жесткость упругого элемента.

г₂ — радиус блока 2.

R₃, Гзрадиусы ступеней катка 3.

i₂ — радиус инерции блока 3.

µ - коэффициент сопротивления.

Fo — амплитуда возмущающей силыm₁₌ 3 mm₂₌ mm₃₌ m m₄₌ 2m

r₂=r R₂=3rr₃=rr₄=2r

i₂=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c

m= 1 кг r= 0.1 м p = 3.14 F ₀ = 50 Н F (t)= F ₀ sin (pt) c= 4000 Н/м м=100Н*с/м

R= - мV

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.1. Постановка второй основной задачи динамики

Рис. 1 Расчётная схема На рис. 1 обозначено:

P₁, P₂, P₃ — силы тяжести, N₁, N₂ — нормальная реакция опорной плоскости,

F_упр — упругая реакция пружины,

F_сц — сила сцепления с опорой,

Y₂, X_2, — реакции подшипника блока 2,

R = - µ*V сила вязкого сопротивления,

F (t) — возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

dT

dt= ?N^e_k + ?Nⁱ_k (1−1)

где Ткинетическая энергия системы,

?N^e_k — сумма мощностей внешних сил,

?Nⁱ_k -сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1−3:

T= T1+T2+T3.(1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

T₁₌ ½ m₁*х²₁(1.3)

где V_l — скорость груза 1.

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T₂=½*m2* х²2+½*Jc₂ щ ²₂(1.4)

где

Jn₂ = m₂*i²₂: — момент инерции относительно центральной оси блока;

щ₂— угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение,

T₃=½*Jc₃ щ ²₃ где j_c3=½ m₃*r²₃ (1.5)

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение

T =½*m₄ *v_c4² +½*J_c4 * щ ₄² где J_c4 = Ѕ*m₄ *r₄ ²

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

T=½m₁х₁²+ ½m₂ *v_c2² +½*Jc₂ щ ²₂ + ½*Jc₃ щ ²₃ + ½*m₄ *v_c4² + ½*J_c4 *щ ₄² (1.6)

Выразим х_n3.,щ_2,щ₃ через скорость груза 1

v_c2 = х₁=х=S; => щ ₃= (R_{2 +} r₂)*v/R ₃*V₃ v_c4 =щ ₄* r ₄ = (R_{2 +} r₂)*v/2R₂ (1.7)

щ ₂ =v/r ₂

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося ½ и V² за скобки, получаем: T= ½(m +m + Jc₂ т _пр /R₂ ² + Jc₃ * (R₂ — r ₂) ² / R₂ * r ₂ + m₄ (R₂ + r ₂) ² /4r²₂ + J_c4(R₂ — r ₂) ² /4r²₂ R₂ ²)* х₂

T=½m _трv₃ ²(1−8)

т _пр =m +m₂ +m₃ 1/ R₂ ² + ½m₃ (R₂ — r ₂) ² / R₂ + m₄ (R₂ + r ₂) ² /4r²₂ + m₄ (R₂ + r ₂) ² /4r²₂

т _пр=8, 21 кг (1−9)

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

dT/dt= т _пр — S*S (1.10)

вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:

N = FV = Fvcos (F, v);(1−11)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

?N'=0(1.12)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N₄,, Y₃, X₃, P₃, F_вд. Сумма мощностей внешних сил:

N=F*V+pV-RV+p₂V₂-F_упр*V₄

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1−13) N= F (t)*V₁ +p₁ V₁ -RV₁ + p₂V₁ -F_упр V₁ * R₂ +r₂ /2R_{2 ,}

N =(F (t) +p₁ — R +p₂ — F_упр R₂ +r₂ /2R₂)V₁, или

N= F_пр * V

Где F_np приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓ_ст и динамического S₄ удлинений

F_упр=с (ѓ_ст + S₄) (1−15)

Сила вязкого сопротивления R =м V = м S тогда

F_пр = F (t)+p₁ — м*S+ p ₂ — c (ѓ_ст + R₂ +r₂ /2R_{2 *} S) R₂ +r₂ /2R_{2 ,} (1−16)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.

Пологая в (1−16), что S='S=0 и F (t)= 0 получаем условие равновесия

F_пр = p + p₂ = c *ѓ_ст= R₂ +r₂ /2R₂ =0, (1−17)

Отсюда статистическое удлинение пружины равно:

— c *ѓ_ст R₂ +r₂ /2R₂ = -p₁— p ;

ѓ_ст R₂ +r₂ /2R₂ =(p ₁ + p ₂)/c => ѓ_ст =(p ₁ + p ₂)/c* 2R₂ / R₂ +r₂

ѓ_ст =1/c (p ₁ + p2) * 2R ₂/R₂ +r₂; (1−18)

Подставляем выражение (1−18) в_, (1−16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .

ѓ_пр = F (t) + p₁ +p₂ — мS — c* R₂ +r₂ /2R ₂ *1/c (p ₁ + p2)* *2R ₂/R₂ +r₂— c*(R₂ + r₂) ²/4R²₂ *S

ѓ_пр = F (t) — мSc*(R₂ + r₂) ²/4R²₂ *S; (1−19)

Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1−19) в (1−1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;

m_пр =S=- c*(R₂ + r₂) ²/4R²₂ *SмS+ F₀ sin (pt) (1−20)

S = 2nS +k² S +F₀ / m_пр sin (pt); (1−21)

Где k циклическая частота свободных колебаний ;

n = м/2* m_пр =100/2*8.21= 6.1с ^-1 ;

n — показатель степени затухания колебаний ;

k= R₂ +r₂ /2R₂ c/m_пр =

1.2 Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

F = F₀-_Sm{pt),(2.1)

Где Fo — амплитуда возмущающей силы, р — циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=S_од+S. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:

S + 2*n*S + k^z*S = 0;.(2.2)

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

L²+2*n*L + k^2! =0,

L _1.2 = -n ± n ² -k ² ;

т.к n решение однородного уравнение имеет вид :

S _ос =a * e *sin (k ₁ *t +в), где k ₁ = k ² -n ²; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

k ₁ =18,31с ^-1 ;

Sт= A* sin (pt) + B*cos (pt); далее получаем:

(A (k² — p²) — 2npB)*sin (pt) + (2 npA +B (k² — p²))cos (pt)= F₀ /m_пр *sin (pt);

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния, А и В

A (k² — p²) — 2npB = F₀ /m_пр решая эту систему получаем следующие выражения

2npА + В (k² — p²)= 0

A= k² — p² / (k² — p²) ² + 4n² p² * F₀ /m_пр; А= 0.011м;

B= - 2np/(k² — p²) ² + 4n² p² * F₀ /m_пр; B= -0.002м;

Общее решение дифференциального уравнения :

S= бe —^nt sin (k ₁ t в) + Asin (pt) + B cos (pt);

S= бe —^nt (-nsin (k ₁ t+в) +k ₁ cos (k ₁ t+в)) +Apcos (pt) — Bpsin (pt);

Постоянные интегрирования б и в определяем из начальных условий

S ₀ = б sin (в) + B ;

t =0 имеем

S ₀ = б (- nsin (в) + k ₁ cos (в)) + Ap

решая эту систему получаем :

б= (S ₀ — B) ² + (S ₀ — B) — Ap) ² 1/k ² ₁ б= 0.045;

в= arctg k ₁ (S ₀ -B) ² / S ₀ +n (S ₀ — B) — Ap в=1.2;

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей

Рис.2

Рис. 2

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.

Тело№ 1 бm₁ V₁ /dt= p₁ + T₁₂ S +F+R; на ось s: m₁S ₁=p₁+F-R-T₁₂ ;

Тело№ 2 бm₂ V₂ /dt= p₂+ T₂₁ +T₂₀+ T₂₃; на ось s: m₂S =p₂+ T₂₁ -T₂₀ -T₂₃

т.к V₂ = V₁=V=S=>dV₁/dt= dV₂/dt;dl_2z =?M_{2 z}

dJc₂щ/dt= T₂₀ RT₂₃ r ₂ ;

Тело№ 3 dl _3z /dt=?M _3z => dJc₃щ ₃/dt= T₃₂ r ₃ — T₃₄r ₃ ;

Бm₃ V₃/dt=x ₃ +y₃+p₃+T₃₄+T₁₂

на ось 0x₃ :0=x₃ +T₃₄; на ось 0y₃: 0=y₃ — p₃ — T₃₂ ;

Тело№ 4 бm₄V₄ /dt=T ₄₃ +P ₄ +N ₄ +F _cy +F _упр ;

на ось 0x₄: m ₄ S ₄ =T ₄₃ -F _упр +F _sy

с учетом кинематических соотношений (1−7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:

m ₁ S= p ₁ +F — R-T ₁₂; 0 = N ₄ — p ₄; x ₃ = T ₃₄ R

m ₂ S= p ₂ +T ₂₁ — T ₂₀ -T _{23 ;} y ₃ =p ₃ +T ₃₄ `

J _c2 1/R ₂ S = T ₂₀ R ₂ — T ₂₃ r ₂; J _c4 m ₄ R ₂ +r ₂ /2R ₂ r ₄ * S=T ₄₃ *

J _c3 R ₂ +r ₂ /R ₂ r ₃ S= T ₃₂ r ₃ — T ₃₄ r ₃; *r ₄ — F _cy r ₄ R

m ₄ R ₂ +r ₂ /2R ₂ * S= T ₄₃ — F _упр +F _cy ;

Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:

T ₁₂ = m g + F ₀ sin (pt) — мS — mS x₂ = T₄₃

T ₂₀ = R ₂ r ₂ (p ₂ + T ₂₁ — m ₂ S) + J _c2 S/ R ₂ (R ₂ +r ₂); y₃= p₂ + T ₃₂

T ₂₃ = R² ₂ (p₂ + T₂₁ — m₂ S) + J_c2 S / R ₂ (R ₂ +r ₂);

T ₄₃ = T ₃₂ — V _c3 /V ₃ * (R ₂ + r ₂)/ R₂ r₂ * S

F _c = T ₃₂ — (R ₂ -r ₂)/ R₂ r₄ * (J_C3 r ₄ / r ₂ r ₃ + J_c4 /2r ₄);

Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ

2,1 Исходные данные m₁, m₂, m₃, m₄, r ₂, R ₂, r ₃, r ₄, i₂, м, F₀, p, S₀, S₀, g, c.

2,2 Вычисление констант

n = м/2* m_пр; k ₁ = k ² — n ² ;

ѓ_ст =1/c (p ₁ + p2) * 2R ₂/R₂ +r₂ ;

A= k² — p² / (k² — p²) ² + 4n² p² * F₀ /m_пр ;

B= - 2np/(k² — p²) ² + 4n² p² * F₀ /m_пр ;

б= (S ₀ — B) ² + (S ₀ — B) — Ap) ² 1/k ² ₁ ;

в= arctg k ₁ (S ₀ -B) ² / S ₀ +n (S ₀ — B) — Ap ;

2,3 Задание начального времени t=0

2,4 Вычисление значений функций в момент времени t

S= бe —^nt sin (k ₁ t в) + Asin (pt) + B cos (pt);

S= бe —^nt (-nsin (k ₁ t+в) +k ₁ cos (k ₁ t+в)) +Apcos (pt) — Bpsin (pt);

S = 2nS +k² S +F₀ / m_пр sin (pt) ;

F_упр=с (ѓ_ст + S₄);

2,5 Вычисление реакций связей

T ₁₂ = m g + F ₀ sin (pt) — мS — mS x₂ = T₄₃

T ₂₀ = R ₂ r ₂ (p ₂ + T ₂₁ — m ₂ S) + J _c2 S/ R ₂ (R ₂ +r ₂); y₃= p₂ + T ₃₂

T ₂₃ = R² ₂ (p₂ + T₂₁ — m₂ S) + J_c2 S / R ₂ (R ₂ +r ₂);

T ₄₃ = T ₃₂ — V _c3 /V ₃ * (R ₂ + r ₂)/ R₂ r₂ * S

F _c = T ₃₂ — (R ₂ -r ₂)/ R₂ r₄ * (J_C3 r ₄ / r ₂ r ₃ + J_c4 /2r ₄);

2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t

2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ?t

2.8 Проверка условия окончания цикла t? t_кон

2,9 Возврат к пункту 2,4

Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера — Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера — Лагранжа:

(1)?уA_k +? уA ⁰_k =0;где

? уA_k = ?F _k у r_k— сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

— сумма элементарных работ всех сил инерции на

(=1*¦=!

возможном перемещении системы.

Рис.3

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N₄, X₃, Y₃, F_cu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

? уA ⁰_k = Aу+ уAp + уAp₁ +уAp₂ + уAp₄ + уA_Fупр ;

Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:

(2)? уA ⁰_k = - F _пр уS, ?- уA ⁰_k = (- c (R ₂ + r ₂) ² / 4R₂² * S — мS + F (t)) *уS;

Найдем возможную работу сил инерции:

? уA ⁰_k = -ц₁ уS₁ — цуS₂ — M₂ у ц₂ — M₃ уц₃ — ц₄уS₄ — M₄ ц₄у ;

Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции ц₁= m₁ a =m₁ S; ц₄= m₄ a ₄ = m₄ S₄; M ₄ = J _c4 *E ₄ = J _c4 * ц₄;

ц₂= m₂ a ₂ = m₂ S ₂; M ₂ = J _c2 *E ₂ = J _c2 * ц₂ ;

ц₃=0; M ₃= J _c3 *E ₃ = J _c3 * ц₃ ;

Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать уS₂ = у S; у ц₂ = 1/R ₂ у S; у ц₃ = R ₂ + r ₂ / R ₂ r ₃ * уS;

у ц₄ = R ₂ + r ₂ / R ₂ r ₃ * уS; уS₄ = R ₂ + r ₂ / 2R ₂* уS;

S₄ = R ₂ + r ₂ / 2R ₂* S

S₂ =S; ц₂ = 1/R₂ *S; ц₃ = R ₂ + r ₂ / R ₂ r ₃ * S;

ц₃ = R ₂ + r ₂ / 2R ₂ r ₃ *S;

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :

? уA ⁰_k= -(m₁ +m₂ + J _c21/R ₂² + (R ₂ + r ₂)² / R ₂² r ₃ ² + m₄ (R₂+ r ₂)² / 4R ₂²

+ J _c4(R ₂ + r ₂)² / 4R ₂² r ₃ ²) * S у S;

(3)? уA ⁰_k = - m_пр * S у S;

далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т. е в общее уравнение динамики получаем Поделив это уравнение на уS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

S + 2nS + k² S = F₀ /m_пр sin (pt), где k = R₂ +r₂ /2R₂ c/m_пр = 19, 3 c ^-1

n = м / 2 m_пр = 6.1 c ^-1

Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением

3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 — S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

d/dt * у T/ уS — у T/ у S (3.3)

где Т — кинетическая энергия системы; Q — обобщенная сила; S — обобщенная координата; S — обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:

(3.4) T=½m _трv₃ ²

т _пр =m +m₂ +m₃ 1/ R₂ ² + ½m₃ (R₂ — r ₂) ² / R₂ + m₄ (R₂ + r ₂) ² /4r²₂ + m₄ (R₂ + r ₂) ² /4r²₂

Производные от кинетической энергии:

(3.5) у T/ уS= 0; у T/ уS = т _пр S; d/dt * у T/ уS= т _пр S;

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение у S (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].

(3.6)? уA ⁰_k = - F _пр уS, ?- уA ⁰_k = (- c (R ₂ + r ₂) ² / 4R₂² * S — мS + F (t)) *уS;

С другой стороны для системы с одной степенью свободы:

? уA ⁰_k =Q у S (3.7)

Сравнивая два последних соотношения, получаем:

Q = - c (R₂ + r ₂) ² /4R²₂ *S — м*S + F (t).

Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа (3.3), получаем;

Q = - c (R₂ + r ₂) ² /4R²₂ *S — м*S + F₀m (pt) ,

S + 2nS + k² S = F₀ /m_пр sin (pt), где k = R₂ +r₂ /2R₂ c/m_пр = 19, 3 c ^-1

n = м / 2 m_пр = 6.1 c ^-1

Анализ результатов

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты т_нр, п, к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.

Использованная литература

1. Методические указания к курсовой работе по разделу «Динамика», «Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы». Разработали: профессор Нечаев Л. М., доцент Усманов М. А. Тула 1998.

2. Яблонский А. А. «Курс теоретической механики.» Том 2 — М.: Высшая школа

1984;424 с.

3. Тарг СМ. «Краткий курс теоретической механики» — М.: Наука, 1988 — 482 с.22