Исследование линейной САР с ПИ-регулятором по корневым критериям качества

Министерство образования РФ и РТ Кафедра АИТ

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ по дисциплине: «Теория автоматического управления»

на тему: «Исследование линейной САР с ПИ-регулятором по корневым критериям качества»

Альметьевск 2011

Индивидуальное задание Часть 1

m₁=0.3

m₂=0.36

k_y=2.2

T₀=1.6

Часть 2

T₁=1.0

T₂=0.7

ЧАСТЬ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ САР С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ ПО КОРНЕВЫМ КРИТЕРИЯМ КАЧЕСТВА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование линейной системы автоматического регулирования с ПИ-регулятором по корневым критериям качества (степени колебательности).

Структурная схема исследуемой системы регулирования

Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Сделав замену, где, запишем смещенное уравнение Для выполнения условия m = m_зад необходимо, чтобы система находилась на границе устойчивости в новых координатах. Иными словами, смещенное уравнение должно иметь мнимые корни

Z = jл

Построив границу Д-разбиения для смещенного уравнения в плоскости параметров К₀ и К₁ получим всю совокупность значений К₀ и К₁, при которых m = m_зад. Граница Д-разбиения является линией равного m. В частном случае при m = 0 имеем границу области устойчивости. Для практических целей достаточно ограничиться положительными значениями К₀ и К₁. задаваясь различными значениями m, можно построить семейство линий равной колебательности, что позволяет производить выбор параметров регулятора.

Рассмотрим последовательность построения линий заданного значения m. Подставим в смещенное уравнение Z = jл и, получим уравнение границы Д-разбиения.

Раскрывая скобки и приравнивая к нулю вещественную и мнимую части уравнения получим систему с двумя неизвестными:

Решая систему при различных значениях л, найдем границу Д-разбиения. Решение удобно искать с помощью определителей:

К₁ = Д₁/Д; К₂ = Д₂/Д Где Подставив значения Д, Д₁, Д₂ найдем К₀ и К₁ функции л Изменяя в пределах от нуля до бесконечности, построим кривую Д-разбиения. В частном случае для m = 0 найдем уравнение границы области устойчивости и построим эту область.

Кривая значения m = 0 для ПИ-регулятора Кривые значений m₁ = 0,3 для ПИ-регулятора Кривые значений m₂ = 0,36 для ПИ-регулятора Определение значений параметров настройки и для И, П и ПИ-регуляторов а) И-регулятор (К₁ = 0 и W (p)=K₀/p)

Подставляя К₁ = 0 в уравнение К₁() получим .

Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания с Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания с б) П-регулятор (К₀ = 0 и W (p) = К₁)

Подставляя К₀ = 0 в уравнение К₀() получим .

Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания с Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания с В системе с П-регулятором имеется статическая ошибка, что не всегда допустимо. В качестве рабочей точки (оптимальные значения К₀ и К₁) чаще всего выбирается точка, соответствующая К_опт или точка, лежащая несколько правее. При этом переходной процесс протекает с меньшей частотой, чем в случае П-регулятора, но при этом отсутствует статическая ошибка.

1.

Почленно разделим числитель на знаменатель, получим статическую ошибку при

Статическая ошибка

2.

Почленно разделим числитель на знаменатель, получим статическую ошибку при

Статическая ошибка

в) ПИ-регулятор (значение находится из условия)

Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания

с Частота затухания основной гармоники рад/с Период колебания этой составляющей с Время затухания с

Определение переходных функций по задающему воздействию для И, П и ПИ-регуляторов

1. И-регулятор

M₁=0.3

В

M₂=0.36

2. П-регулятор

M₁=0.3

В

M₂=0.36

3. ПИ-регулятор

M₁=0.3

В

M₂=0.36

В

Переходной процесс левее точки ПИ-регулятора:

m=0.3 k₁=2, k₀=1.004, =1.322

В

m=0.36 k₁=1.5, k₀=0.718, =1.174

В

Переходной процесс правее точки ПИ-регулятора

m=0.3 k₁=3, k₀=0.971, =1.64

m=0.36 k₁=2, k₀=0.679, =1.378

В

амплитудный регулятор интегральный квадратичный

Перерегулирование — для И и ПИ-регуляторов

— для П-регулятора

Колебательность К — число колебаний за время п. п К=1/m

Степень затухания

Определение переходных функций по возмущающему воздействию для И, П и ПИ-регуляторов

f = 10В

1. И-регулятор

М₁=0.3 к_У=2.2

к₀=0.193

М₂=0.36 к_У=2.2

к₀=0.166

2. П-регулятор

М₁=0.3 к_У=2.2

к₁=5.052

М₂=0.36 к_У=2.2

к₁=3.263

3. ПИ-регулятор

М₁=0.3 к_У=2.2

к₀=1.027

к₁=2.393

М₂=0.36 к_У=2.2

к₀=0.72

к₁=1.601

Переходной процесс левее точки ПИ-регулятора

m=0.3 k₁=2

k₀=1.004

=1.322

m=0.36 k₁=1.5

k₀=0.718

=1.174

Переходной процесс правее точки ПИ-регулятора

m=0.3 k₁=3

k₀=0.971

=1.64

m=0.36 k₁=2

k₀=0.679

=1.378

Определим АЧХ замкнутой САР

1. И-регулятор

М₁=0.3 К₀=0.193

М₂=0.36 К₀=0.166

2. П-регулятор

М₁=0.3 К₁=5.052

М₂=0.36 К₁=3.263

3. ПИ-регулятор

М₁=0.3 К₀=1.027, К₁=2.393

М₂=0.36 К₀=0.72, К₁=1.601

По АЧХ определяем косвенные показатели качества

Определим АЧХ по ошибке

1. И-регулятор

М₁=0.3 К₀=0.193

М₂=0.36 К₀=0.166

2. П-регулятор

М₁=0.3 К₁=5.052

М₂=0.36 К₁=3.263

3. ПИ-регулятор

М₁=0.3 К₀=1.027, К₁=2.393

М₂=0.36 К₀=0.72, К₁=1.601

Качественные показатели АЧХ по ошибке

Где М — показатель колебательности

щ_р — резонансная частота

Вычисление интегральной квадратичной оценки

1. И-регулятор По задающему воздействию

;

;

По возмущающему воздействию

;

;

2. П-регулятор По задающему воздействию

;

;

По возмущающему воздействию

;

;

3. ПИ-регулятор По задающему воздействию

;

;

По возмущающему воздействию

;

;

ЧАСТЬ 2. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ САУ ПО ИНТЕГРАЛЬНЫМ КВАДРАТИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: оценка качества переходных процессов САУ по интегральным квадратичным критериям.

Структурная схема системы

Передаточная функция разомкнутой системы

Передаточная функция по ошибке

Задающее воздействие х (t) = 50 В

Определим критический коэффициент усиления системы

Для этого вычислим критический коэффициент усиления к_кр по критерию Рауса-Гурвица.

Передаточная функция замкнутой САУ

Характеристическое уравнение

Условие границы устойчивости

Решение определителя

Вычисление интегральных критериев I₀ и I₁₀

Изображение ошибки регулирования:

Установившееся значение ошибки регулирования:

Изображение ошибки регулирования с учетом вынужденной составляющей ошибки:

Для определения I₀ запишем E_n(p) следующим образом:

где b₂ = 35; b₁ = 85; b₀ = 50; a₃ = 0,7; a₂ = 1,7; a₁ = 1; a₀ = k

Интегральный квадратичный критерий:

Из полученного результата следует, что I₀ уменьшается с ростом коэффициента усиления разомкнутой системы k.

Найдем выражение для I₁.

Начальное значение е_n(t):

Изображение дифференцированного оригинала:

Для определения I₁₀ запишем следующим образом:

где b₂ = 0; b₁ = 0; b₀ = -50k; a₃ = 0,7; a₂ = 1,7; a₁ = 1; a₀ = k

Критерий накладывающий ограничения на скорость изменения переходной составляющей е_n(t):

Улучшенный интегральный критерий:

Условие оптимальности значения к:

Коэффициент веса:

Как видно из полученного результата, увеличение г приводит к уменьшению коэффициента усиления и, следовательно, к менее колебательному переходному процессу.

Определение параметров для различных коэффициентов веса

Для значений г = 0; г = 1; г = 3; г = 5 определим численные значения коэффициента усиления регулятора k_опт, интегральные критерии I₀, I₁₀ и I_1min, а также значение. Изобразим графики эталонных кривых y (t) для расчетных значений г и области допустимых значений переходного процесса.

Расчетные значения параметров К_опт, I₀, I₁₀, I_1min, I^*_1min, Д=(д/г)^½ при г = 0, г = 1, г = 3, г = 5

Зависимость показателей качества ПП от изменения коэффициента веса.

Ерофеев А. А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.- СПб.: Политехника, 2002. -302 с.: ил.

Бесекерский В.А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1975. — 656 с.

Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В. А. Бесекерского. — 5-е изд., перераб. — М.: Наука, 1978. — 512 с.