Примеры решения задач

1.1. Пучок параллельных световых лучей падает из воздуха на толстую стеклянную пластину под углом 60° и, преломляясь, переходит в стекло. Ширина пучка в воздухе 10 см. Определите ширину пучка в стекле. Показатель преломления стекла 1,51. Результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

Отсюда определим угол преломления р:

Из рисунка видно, что прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ.

Приравнивая правые части уравнений, получим.

Отсюда ширина пучка b в стекле будет равна.

Ответ: 6 = 0,16 м.

1.2. Каков преломляющий угол призмы из стекла с показателем преломления 1,56, если луч, упавший нормально на одну ее грань, выходит вдоль другой? Ответ представьте в градусах и округлите до целого числа.

Преломляющий угол призмы — это угол между гранями призмы, на которую падает и из которой выходит луч. Из рисунка видно, что нам нужно определить угол у.

По условию задачи первый луч падает из воздуха, показатель преломления которого равен 1, на грань призмы нормально. Следовательно, он проходит в стекло не преломляясь. Далее луч падает на границу раздела «стекло-воздух» под углом а. Здесь луч преломляется и выходит вдоль другой грани. Следовательно, угол преломления р = 90°.

Закон преломления Отсюда

Найдем связь угла, а с преломляющим углом призмы у: или из треугольника:

Приравниваем правые части уравнений (2) и (3):

Заменим в уравнении (1) а на у и рассчитаем его значение:

Отсюда найдем преломляющий угол призмы:

Ответ: у = 40°.

1.3. Из одной точки, в которой находится точечный источник света S, на поверхность жидкости падают взаимно перпендикулярные лучи I и 2. Угол преломления первого луча 30°, угол преломления второго луча 45°. Определите показатель преломления жидкости. Ответ округлите до сотых.

В этих уравнениях правые части равны, приравняем и левые:

В полученном выражении два неизвестных: а и а'. Выразим одно неизвестное через другое. Из рисунка.

Подставим полученное выражение (2) в (1):

Полученное значение угла, а подставим в закон преломления и рассчитаем показатель преломления жидкости:

Ответ: л = 1,15.

1.4. Точка А движется с постоянной скоростью 2 см/с в направлении, как показано на рисунке. С какой скоростью движется изображение этой точки, если расстояние этой точки от линзы 0,15 м, а фокусное расстояние линзы 0,1 м? Ответ представьте в сантиметрах за секунду.

/ - расстояние от оптического центра линзы до изображения. В этой формуле h и Н соответствуют скоростям о и и', следовательно, ее можно записать в виде.

Т. е. для определения скорости и' необходимо знать расстояние/ которое можно найти из формулы тонкой линзы. Для собирающей линзы.

Тогда скорость о', с которой движется изображение точки, будет равна Отсюда

Ответ: и'= 4 см/с.

1.5. Стальной шарик падает без начальной скорости с высоты /?, равной 0,9 м, на собирающую линзу и разбивает ее. В начальный момент расстояние от шарика до линзы равнялось расстоянию от линзы до действительного изображения шарика. Сколько времени существовало мнимое изображение? Принять g=10 м/с". Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

Линза дает действительное изображение шарика на отрезке пути от 2F до F, т. е. шарик прошел путь S, равный d!2. Движение в данном случае равноускоренное с ускорением g.

Определим из этой формулы скорость uj, которую приобретает шарик:

На участке движения шарика от F до оптического центра линзы О линза дает мнимое изображение шарика. Выражение для расчета расстояния, пройденного на этом участке, можно записать в виде.

Подставим численные значения, в результате чего получим квадратное уравнение:

Второй корень не имеет смысла, т. е. время существования мнимого изображения / будет равно.

Ответ: / = 0,12 с.

1.6. Найдите коэффициент увеличения изображения предмета ЛВ, даваемого тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием F. Результат округлите до сотых.

Дано:_ Решение:_.

ЛВ Построим изображение предмета ЛВ в рассеи;

_F_вающей линзе. Изображение Л’В' — уменьшенное и Г =? мнимое.

Запишем формулу тонкой рассеивающей линзы для точек Ли В:

Из рисунка видно, что

Выразим расстояние от линзы до изображения/:

Величина предмета ЛВ и величина изображения Л’В' согласно чертежу равны расстояниям.

1.7. В установке Юнга (см. рисунок), находящейся в воздухе, расстояние d между щелями S и Si равно 1 мм, а расстояние L от щелей до экрана 3 м. Определите разность хода лучей, приходящих в точку экрана М, если расстояние / до нее от центра экрана 3 мм. Ответ представьте в микрометрах.

По условию задачи в точке М на экране наблюдается светлое пятно, т. е. должно выполняться условие максимума при интерференции: А=кХ, где к- порядок максимума; Л — разность хода лучей. Из рисунка разность хода лучей равна.

Найдем /*1 и ri по теореме Пифагора:

И тогда коэффициент увеличения линзы.

Ответ: Г = 0,17.

Из второго уравнения вычтем первое:

Распишем разность квадратов в левой части уравнения:

Отсюда.

Ответ: Д= 1 мкм.

1.8. На поверхность стеклянной линзы нанесена тонкая пленка с показателем преломления п_пп < п" толщиной 112,5 нм (см. рис. 1.2.13). Па пленку по нормали к ней падает свет с длиной волны 630 нм. При каком значении показателя преломления п_пп пленка будет «просветляющей»?

Дано:_Решение:_.

^{Ппп Лст} _? Просветляющая пленка удовлетворяет.

а = 112,5 нм= 1,125−10 м условию максимума при интерференции:

Х = 630 нм = 6,3 10 ⁷ м.

«пл = ?

Луч света, отраженный от стекла, отстает от луча, отраженного от пленки на расстояние, равное разности хода лучей:

Здесь поправка Х/2 учитывает сдвиг фаз при отражении от оптически более плотной среды. Приравняем правые части полученных выражений:

Отсюда выразим показатель преломления /7_ПЛ пленки:

Подставим численные значения и рассчитаем показатель преломления я_Ш1 пленки, при котором она будет «просветляющей»:

Ответ: я_пл = 1,4.

1.9. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны Х = 0,5 мкм падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны Ri = l м, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны R₂ = 2 м. Опрсдслитс радиус г₃ третьего темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете.

Приравняем правые части:

Отсюда

Подставим полученное выражение в формулу для радиуса кольца Ньютона:

Т. е. для определения радиуса кольца необходимо знать толщину прослойки d между линзами. Ее можно определить из разности хода лучей. Т. к. в задаче рассматривается радиус темного кольца Ньютона, то должно выполняться условие минимума при интерференции:

Кроме того, в отраженном свете один луч отстает от другого на расстояние, равное.

Тогда Тогда радиус гз третьего темного кольца Ньютона.

Ответ: гз= 1,73 мм.

1.10. На дифракционную решетку, содержащую «=400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (А,=0,6мкм). Найдите общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определите угол ф дифракции, соответствующий последнему максимуму.

Чтобы найти общее число дифракционных максимумов, нужно знать номер последнего максимума (к_тах):

Здесь d — период решетки: d = —. Тогда.

п

Число максимумов может быть только целым числом, т. е.

Общее число дифракционных максимумов.

Тогда угол ф дифракции, соответствующий последнему максимуму,.

Ответ: ДГ=9;ф = 74°. 98.

1.11. На дифракционную решетку, содержащую л = 500 штрихов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определите ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра ^_кр = 780 нм, ?4d = 400 нм.

где (р — угол дифракции. Для максимума первого порядка этот угол очень мал. А для малых углов выполняется соотношение.

Тогда уравнение (2) перепишем в виде.

sin ф найдем из условия максимума на дифракционной решетке:

где cl — период дифракционной решетки, который можно найти, зная длину решетки / и число штрихов на решетке п:

LkXn

Тогда * =;

Ширину спектра (I) запишем в виде.

После подстановки численных значений имеем.

Ответ: 6 = 0,57 м.

1.12. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками положили очень тонкую проволочку, расположенную параллельно линии соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии / = 75 мм от нее. В отраженном свете (А. = 0,5 мкм) на верхней пластинке видны интерференционные полосы. Определить диаметр d поперечного сечения проволочки (в мкм), если на протяжении а = 30 мм насчитывается т = 16 светлых полос.

Из рисунка видно, что диаметр проволоки d можно найти из прямоугольного треугольника:

Т. к. угол, а очень мал, то для него выполняется соотношение tga «sina, тогда.

Необходимо определить sin а. Рассмотрим второй треугольник. Для него запишем соотношение

Приравняем уравнения (1) и (2):

На участке а насчитывается т = 16 светлых полос. Запишем для границ участка условие максимума при интерференции:

Разность хода лучей на этом участке равна Тогда Отсюда.

Аналогично для второй границы:

Подставим выражение для х (4) в полученное выражение (5):

Выражение (6) для d' подставим в уравнение (3): — = отсюда.

/ 2па

Подставим численные значения и рассчитаем диаметр d поперечного сечения проволочки:

Ответ: d= 10 мкм.