Двухшаговый метод наименьших квадратов

Для построения оценок структурных коэффициентов кроме косвенного метода наименьших квадратов используется двухшаговый метод наименьших квадратов. Косвенный метод наименьших квадратов, как было показано выше, заключается в построении оценок методом наименьших квадратов для приведенной формы модели и затем в нахождении оценок структурных коэффициентов через найденные оценки коэффициентов приведенной формы.

Двухшаговый метод наименьших квадратов основан на методе инструментальных переменных — одним из самых распространенных методов оценивания уравнений, в которых регрессоры коррелируют со случайными компонентами [7]. Именно этот случай наиболее характерен для систем одновременных уравнений. Идея метода состоит в том, что подбираются новые переменные (инструментальные или «внешние», «первичные» переменные или «инструменты»), которые тесно коррелируют с исходными регрессорами и не коррелируют со случайными составляющими, что позволяет получить состоятельные оценки параметров (число инструментальных переменных, вообще говоря, может превосходить число исходных регрессоров). Однозначного ответа (в общем случае) на вопрос о том, каков должен быть набор инструментальных переменных, не существует; в случае систем одновременных уравнений в качестве инструментальных обычно используются экзогенные переменные. Для успешного применения этого метода таких инструментальных переменных должно быть достаточное количество. Если их нс хватает и нс удастся оценить указанным способом структурные коэффициенты, то уравнение называется неидентифицируемым. Неидентифицируемость уравнения обычно свидетельствует о проблемах при формализации экономических закономерностей с помощью системы одновременных уравнений.

При использовании двухшагового метода наименьших квадратов выделяется одно уравнение системы, а остальные служат для определения инструментальных переменных.

Содержание этого метода состоит в следующем. Выделяется одно уравнение, в левой части которого стоит эндогенная переменная с коэффициентом, равным единице, а в правой — остальные переменные и случайное слагаемое. В качестве значений инструментальных переменных берутся значения оценок остальных эндогенных переменных, полученные по уравнениям регрессий, построенных на экзогенные (предопределенные) переменные — полученные оценки уже не коррелируют со случайными компонентами (по крайней мерс, можно ожидать, что корреляция оценок инструментальных переменных со случайными компонентами будет существенно слабее, чем корреляция эндогенных переменных со случайными компонентами). Для этого строится регрессия каждой из остальных эндогенных переменных, входящих в рассматриваемое уравнение, на все экзогенные переменные (по обычному методу наименьших квадратов) и вычисляются прогнозные значения этих переменных согласно полученным уравнениям регрессий. После этого все значения остальных эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении заменяются значениями, вычисленными по найденным регрессионным зависимостям.

На втором шаге строится регрессия (с помощью опять же обычного метода наименьших квадратов) рассматриваемой эндогенной переменной на прежние экзогенные переменные и новые инструментальные переменные (напомним, что их значения должны быть вычислены по регрессионным уравнениям). Коэффициенты этой регрессии и будут оценками структурных коэффициентов рассматриваемого уравнения с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Таким образом, двухшаговый метод наименьших квадратов подразумевает выполнение следующих шагов:

• 1. Оценка «лишних» эндогенных переменных с помощью экзогенных переменных.
• 2. Использование полученных оценок для получения МНК оценок структурных коэффициентов.

Рассмотрим применение двухшагового метода наименьших квадратов на примере модели Кейнса (5.1.3) с учетом государственных расходов:

здесь G, — объем государственных расходов. Эндогенными переменными являются С и Y, экзогенными — / и G.

Рассмотрим первое уравнение: в правой части этого уравнения стоит эндогенная переменная У, которая коррелирует со случайной компонентой s_t. Построим регрессию этой эндогенной переменной У на экзогенные переменные / и G:

Значения У, вычисленные по найденному уравнению регрессии (5.2.2) подставим вместо фактических значений У в уравнение (5.2.1):

Затем с помощью обычного метода наименьших квадратов построим регрессию С на У. Найденное уравнение даст нам оценки структурных параметров этого уравнения.

Заметим, что при использовании двухшагового метода наименьших квадратов каждое уравнение оценивается фактически независимо от других. Существует трехшаговый метод наименьших квадратов, сочетающий процедуру одновременного оценивания и метод инструментальных переменных. Этот метод заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов, а затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов.

При выполнении определенных условий идентифицируемости оценки, полученные с помощью двух шагового метода наименьших квадратов, совпадают с оценками по косвенному методу наименьших квадратов.