Исследование операций и теория систем

Министерство Образования Российской Федерации Южно-Уральский Государственный Университет Кафедра Системы Управления

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Исследование операций

Вариант 8

Руководитель:

Плотникова Н.В.

«___"__________2004 г.

Автор проекта:

студентка группы ПС — 317

Куликова Мария

«___"__________2004 г.

Проект защищен с оценкой

«___"__________2004 г.

Челябинск

2004 г.Содержание.

Задача 1…3

Задача 2…8

Задача 3…10

Задача 4…13

Задача 1 (№ 8)

Условие:

На производстве четырёх видов кабеля выполняется пять групп технологических операций. Нормы затрат на 1 км. кабеля данного вида на каждой из групп операций, прибыль от реализации 1 км. каждого вида кабеля, а также общий фонд рабочего времени, в течение которого могут выполняться эти операции, указаны в таблице.

Определить такой план выпуска кабеля, при котором общая прибыль от реализации изготовляемой продукции является максимальной.

Решение:

Составляем математическую модель задачи:

пусть x1 -длина 1-ого кабеля (км);

x2 — длина 2-ого кабеля (км);

x3 — длина 3-ого кабеля (км);

x4 — длина 4-ого кабеля (км) тогда целевая функция L — общая прибыль от реализации изготовляемой продукции, будет иметь следующий вид

L= В1×1 + В2×2 + В3×3 + В4×4 = x1+ 2×2 + 1,5×3 + x4 > max

Получим систему ограничений:

1,5×1 + x2 + 2×3+ x4 6500;

x1 + 2×2 + 0×3+2×4 4000;

4x1 + 5×2 + 5×3+4×4 11 000;

2x1 + x2 +1,5×3+0×4 4500;

x1 + 2×2 +1,5×3+4×4 4500.

Приведём полученную математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств:

1,5×1 + x2 + 2×3+ x4 + x5 = 6500;

x1 + 2×2 + 0×3+2×4 + x6= 4000;

4x1 + 5×2 + 5×3+4×4 + x7=11 000;

2x1 + x2 +1,5×3+0×4 + x8 =4500;

x1 + 2×2 +1,5×3+4×4 + x9 =4500.

Итак, выберем x1, x2, x3, x4 — свободными переменными, а x5, x6, x7, x8, x9 — базисными переменными (каждая из них встречаются в системе лишь в одном уравнении с коэффициентом 1, а в остальных с нулевыми коэффициентами). Приведём систему к стандартному виду, выразив для этого все базисные переменные через свободные:

x5 = 6500 — (1,5×1 + x2 + 2×3+ x4);

x6 = 4000 — (x1 + 2×2 + 0×3+2×4);

x7 =11 000 — (4×1 + 5×2 + 5×3+4×4);

x8 =4500 — (2×1 + x2 +1,5×3+0×4);

x9 =4500 — (x1 + 2×2 +1,5×3+4×4)

L=0 -(- x1- 2×2 — 1,5×3 — x4)

Решим методом симплекс-таблиц:

Это решение опорное, т.к. все свободные члены положительны.

Выберем столбец в таблице, который будет разрешающим, пусть это будет x1, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x8).

Меняем и

Меняем и x9

Видим, что коэффициенты при переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение будет оптимальным.

Итак, =0, =3875/3, =2750/3, =250, L=3500.

Ответ: если предприятие будет изготавливать только три вида проволоки 1,2,3 причем 3875/3 км, 2750/3 км, 250 км соответственно, то общая прибыль от реализации изготовляемой продукции будет максимальной и равной 3500(ед).

Задача 2 (№ 28)

Условие:

С помощью симплекс-таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax B,

где = 1 2. .. 6, В = b1 b2. .. b6 ,

= 1 2. .. 6, А= (=1,6; =1,3).

Решение:

Получим систему:

4 x1 + x2 + x3+2×4 + x5 =8;

2x1 — x2 +x4=2;

x1 + x2+x5=3

L= -6×1+ x3 -x4 -x5 > max

Пусть x2, x4 — свободные переменные, а x1, x3, x5 — базисные переменные. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

x5 =2-(1,5×2 -0,5×4);

x3 =6-(1,5×2 +0,5×4);

x1=1-(-0,5×2+0,5×4)

L=-2-(3×2- x4) > max

Составим симплекс-таблицу:

Выберем разрешающим столбцом x4, т.к. только перед этой переменной в целевой функции отрицательное число, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x1). Меняем x4 и x1

Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.

Итак, x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.

Ответ: x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.

Задача 3 (№ 8)

Условие:

Решение транспортной задачи:

1. Записать условия задачи в матричной форме.

2. Определить опорный план задачи.

3. Определить оптимальный план задачи.

4. Проверить решение задачи методом потенциалов.

Решение:

Составим таблицу транспортной задачи. Заполним таблицу методом северо-западного угла:

Количество заполненных ячеек r=m+n-1=6.

Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток:

r =6, ai= bj=1000, всё выполняется, значит, найденный план является опорным.

L=25*200+30*200+40*100+10*200+12*100+21*200=22 400

Постараемся улучшить план перевозок.

1) Рассмотрим цикл (1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)

Подсчитаем цену цикла: j=15−30+21−25=-19<0

L=21*200+15*200+40*100+10*200+12*100+21*200=18 600

2) Рассмотрим цикл (2;1)-(2;2)-(3;2)-(3;1)

j=-15+30+23−40=-2<0

L=21*200+15*100+30*100+23*100+10*200+12*100+21*200=18 400

Проверим методом потенциалов:

Примем б1=0, тогда вj = cij — бi (для заполненных клеток).

Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Дij = cij — (бi+ вj)? 0

Очевидно, что Дij =0 для заполненных клеток.

В результате получим следующую таблицу:

Таким образом, решение верное, т.к. Дij > 0 для всех пустых клеток и Дij =0 для всех заполненных.

Тогда сумма всех перевозок:

L=18 400

Ответ:

Задача 4 (№ 53)

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

= 1112+2222+1212+11+22

при условиях:

111+122<=>1

211+222<=>2.

Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

Составить функцию Лагранжа.

Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.

Решение:

Целевая функция:

F= -212−22−412+61+1,52>max

Ограничения g1(x) и g2(x): 2,51−27 2,51−2-70

31+2,5213 31+2,52−130

1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

>

2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции

F11 (х10, х20) = -4 < 0

F12 (х10, х20)=-4

F21 (х10, х20)=-4

F22 (х10, х20)=-2

F11 F12 -4 -4

F21 F22 -4 -2

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L (x, u)=F (x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-212−22−412+61+1,52+u1 (2,51−2-7)+ u2 (31+2,52−13).

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А:

Система В:

Перепишем систему А:

6−41−42+2,5u1+3u2 <0

1,5−41−22-u1+2,5u2 <0

2,51−2-70

31+2,52−130

4)Введем новые переменные

V={v1,v2}?0; W={w1,w2}?0

в систему, А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

6−41−42+2,5u1+3u2 + v1=0

1,5−41−22-u1+2,5u2 + v2=0

2,51−2-7- w1=0

31+2,52−13- w2=0

Тогда

— v1=6−41−42+2,5u1+3u2

— v2=1,5−41−22-u1+2,5u2

w1=2,51−2-7

w2=31+2,52−13

Следовательно, система В примет вид:

— это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему, А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

6−41−42+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0

1,5−41−22-u1+2,5u2 + v2 -y2=0

2,51−2-7- w1=0

31+2,52−13- w2=0

и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2>min

Y'=-Y= -My1-My2>max.

В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2;

а в качестве базисных y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

y1=6-(41+42−2,5u1−3u2 — v1)

y2=1,5-(41+22+u1−2,5u2 -v2)

w1=-7-(-2,51+2)

w2=-13-(-31−2,52)

Y'=-Y=-My1-My2=-7,5M-(-81−62+1,5u1+5,5u2+ v1+v2) M

Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:

Меняем и

Меняем и

Меняем и

Меняем и

Итак, =====, =16,785, =11,017, =23,944, =35,07

6) Условия дополняющей нежесткости выполняются, значит, решения исходной задачи квадратичного программирования существует.

Ответ: существует.

1) Курс лекций Плотникова Н.В.

2) Пантелеев А. В., Летова Т. А. «Методы оптимизации в примерах и задачах».