Использование вейвлет-функций для описания сигналов

В настоящее время для анализа сложных сигналов все чаще применяется непрерывное вейвлет-преобразование, которое позволяет получить частотно-временное представление сигнала.

Вейвлет-преобразование для функции времени/^) имеет вид.

где s — масштабный коэффициент, пропорциональный частоте (число анализируемых частот);

г — параметр сдвига во времени;

4^х — базисная вейвлет-функция.

Выбирая значения s w т можно анализировать сигнал в любой момент времени с заданным разрешением.

В качестве базисных вейвлет-функций используют вейвлеты Морле, Хаара, Добеши, Мейера, вейвлет «мексиканская шляпа». Семейство вейвлетов Добеши приведено на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Семейство вейвлетов Добеши

Основное различие между гармоникой (синусоидой), на основании которой построен гармонический Фурье-анализ (разложение в ряд Фурье по основной тригонометрической системе), и вейвлетом, на основании которого построен вейвлет-анализ, состоит в их различной способности к временной локализации: в то время как синусоида позволяет локализовать составляющие сигнала лишь в частотной области, вейвлеты дают возможность частотно-временной локализации.

Помимо способности осуществлять временную локализацию, вейвлеты позволяют добиться значительных упрощений при решении задачи приближения: число членов ряда Фурье при использовании подходящих вейвлетов может оказаться много меньше по сравнению с числом членов ряда Фурье основной тригонометрической системы. Например, при описании ступенчатой функции рядом Фурье с 5 коэффициентами получаем очень некачественную аппроксимацию (рис. 3.12, а), даже при 50 коэффициентах не удается получить качественный результат (рис. 3.12, б).

Рис. 3.12. Приближение ступенчатой функции рядом Фурье

Применение подходящей вейвлет-функции может дать качественную аппроксимацию всего одной функцией, например вейвлетом первого порядка семейства вейвлетов Добеши (см. рис. 3.11).

При сжатии изображений в стандарте JPEG 2000 используется двумерное описание изображений с помощью различных дискретных вейвлет-функций. Детальное описание вейвлет-функций приведено в [10].