Структуры Тьюринга. 
Высшая математика: математический аппарат диффузии

В 1952 А. М. Тьюринг в работе «Химические основы морфогенеза» предсказал, что в первоначально однородной среде, в которой протекают химические реакции с диффузией, скорость которой недостаточна для эффективного перемешивания, может установиться периодическое в пространстве и стационарное во времени распределение концентраций.

Пример неравновесной системыхимическая реакция, происходящая в каком-то объёме, из которого продукты реакции мог>т диффундировать (уходить) в окружающее пространство. Как известно, при отсутствии диффузии во внешнюю среду, когда продукты реакции остаются в данном объёме, они постепенно распределяются в нём равномерно, и это распределение является стабильным. Тыоринг показал каким будет распределение продуктов реакции в том же объеме, если они могут постепенно выходить наружу. Оказалось, что в одних точках продуктов реакции становится больше, в других меньше, так что образуются чередующиеся сгущения и разрежения вещества, причем картина этих сгущений и разрежений зависит от скорости реакции и скорости диффузии. Поэтому в разных условиях она может быть различной. Чередования сгущений и разрежений получили название «узоров Тьюринга», а механизм их образования назван «pattern formation». Примером является реакция с участием двух веществ, из которых одно -«активатор» (стимулирует образование второго вещества), а второе-«игггибитор» (подавляет активность первого).

Диффузионная неустойчивость приводит к формированию периодических в пространстве и стационарных во времени концентрационных (диссипативных) структур. Для этого в системе должен присутствовать автокатализ, и коэффициенты диффузии компоггеггтов должггьг быть различны. Неустойчивость однородного состояния в системе, которая приводит к формированию диссипативной структуры, носит название тьюринговой неустойчивости и относится к диффузионным неустойчивостям. Структура Тьюринга — стационарная двумерная структура нелинейной динамики, возникающая вследствие волновых свойств реакционно-диффузионных систем. Существуют три базовых вида структур Тьюринга: гексагональные пятна, полосы, структуры типа пчелиных сот.

Существует множество различных систем реакции-диффузии, и одной из простейших систем этого класса является система Шнакенберга:

Ut='tf{u, v)+Uxx=y (fl-U+U²v)+U_xx,

v_t=yg (M_ft)+dvxx=y (b-u²v)+dv_xx.

Это — система двух уравнений в частных производных, где неизвестные u=u (x, t) и v=v (x, t) — концентрации двух химических веществ в точке л: в момент времени t>о, которые являются активатором и субстратом. Параметр d — коэффициент диффузии, у — положительная постоянная, характеризующая относительную силу влияния слагаемых реакции, а и b — положительные параметры реакции в данной химической системе.

В настоящее время известны диссипативные структуры намного более сложной формы по сравнению со структурами Тьюринга, например, антиспирали, волновые пакеты, штрихволны, сегментированные спирали, колеблющиеся кластеры и локализованные колеблющиеся пятна — осциллоны. Некоторые из них воспроизведены в численных расчетах на примерах конкретных математических моделей, например, «Брюсселятор», «Орегонатор» или модели ФитцХьюНагумо. Сейчас известно, что реакция Белоусова-Жаботинского насчитывает более 20 промежуточных стадий, однако, основные ее особенности можно отразить в трехкомпонентной модели «Орегонатор».

Простая модель содержит две переменные:

Здесь параметры f q, г — некоторые константы, причём значение е предполагается малым: е"1.

Рис. 5. Примеры диссипативных структур.

Модель «Брюсселятор» отражает процесс протекания периодической реакции в открытой системе между двумя видами непрерывно поступающих в реактор веществ где a, b — постоянные концентрации поступающих реагентов.

Помимо тьюринговой, существует другой тип диффузионной неустойчивости, называемый волновой неустойчивостью, которая может возникнуть только в системе, размерность которой не меньше трёх.

Поведение активных сред может быть описано системами из 6 нелинейных дисЬ&еоенпиальных уравнений в частных производных:

гдеДи Dij (i */) — коэффициенты диффузии и взаимной диффузии,/- нелинейные функции, описывающие взаимодействие компонентов.

При некоторых /и Ду в таких системах возникаютраспространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса, стоячие волны, синхронные автоколебания, квазистохастические волны, стационарные неоднородные распределения переменных в пространстве, а такжеидёт генерация волн автономными источниками импульсной активности.

Рассмотрим систему, в которой имеется два вещества (описываются двумядинамическими, зависящими от времени и от одной координаты г, переменнымил* и у), которые претерпевают химические превращения и, кроме того, могут диффундировать в реакционном объёме. Такая модель представляет собой распределённую систему и в случае одномерного реактора может быть описана системой уравнений:

Здесь г — пространственная переменная. Величины D_x и Д, — коэффициенты диффузии, нелинейные функции Р{х, у) и Q (x, у) описывают прирост и убыль компонент хиу.

Пусть краевыми условиями являются условия непроницаемости торцов одномерного реактора:

Образование диссипативных структур возможно при условиях: i) Одна из переменных (например, д:) является «автокаталитической», другая (у) — «демпфирующей». Тогда в системе, линеаризованной вблизи стационарного состояния х, у> (такого, что Р (х, у) = Q{x, y) = 0),.

величина положительна, а величина dQ отрицательна. Величи- ^& Х’У И, ныдР/ду и cQ/дх имеют разные знаки. Такие условия выполняются лишь в термодинамически неравновесных открытых системах;

2) Коэффициент диффузии автокатализатора (активатора) должен быть меньше коэффициента диффузии для демпфера (ингибитора):D_xy.

При выполнении этих условий однородное стационарное состояние Х = х, у = у, может терять устойчивость по отношению к гармоническим возмущениям с определённой длиной волны, соизмеримой с длиной реактора. Значения параметров системы уравнений, при которых декремент затухания возмущений обращается в нуль, называются бифуркационными. Система отбирает из внешних возмущений ограниченное число гармонических мод, которые могут нарастать. Их нарастание стабилизируется нелинейными членами функций Р (х, у) и Q (x, у). При значениях параметров, близких к бифуркационным, образуется плавная гармоническая дисперсионная система. Вдали от точки бифуркации возникают контрастные дисперсионные системы, которые состоят из узких участков резкого изменения автокаталитической переменной х, чередующихся с широкими участками плавного изменения переменных. При обратном соотношении между' коэффициентами диффузии (D_x«D_y) в системе возникают автоволны.

Модели дисперсионных систем разбиваются на два класса, которые можно привести в соответствие с катастрофами типа «складка» и «сборка». В случае складки контрастная дисперсионная система состоит из ряда узких «пиков» автокаталитической переменной x (?'), разделённых длинными участками плавного изменения обеих переменных, в случае сборки идёт образование контрастных дисперсионных систем стушенчатой формы, состоящих из широких участков повышенного и пониженного содержания автокатализатора.