Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

• 1. Если, а является корнем многочлена Дх) = х³ — Зх² + х — 3, то чему равна степень элемента, а над полем Q?
• 2. Пусть Р есть подполе поля F и элемент, а е F является алгебраическим над Р. Будет ли, а алгебраическим над F?
• 3. Пусть ср (х) является минимальным многочленом алгебраического над полем Р элемента, а и к е Р. Будет ли минимальным для элемента, а многочлен/(х) = /сф (х)?
• 4. Может ли многочлен быть минимальным для двух различных алгебраических элементов?
• 5. Может ли элемент быть алгебраическим и не иррациональным? Иррациональным, но не алгебраическим?
• 6. Пусть поле Fявляется расширением поля РиА, В, С являются подмножествами поляЕ, соответственно, алгебраических, иррациональных и трансцендентных элементов над полем Р. Изобразите на диаграмме и охарактеризуйте множества АпВ, АпС, ВпС, А'иВ, А'иС, ВиС.
• 7. Может ли минимальный многочлен алгебраической иррациональности над полем Р иметь корень в этом поле?

Задачи

• 1. Найдите минимальный многочлен и степень алгебраического над полем Р элемента а, если:
  • а) а = 2, Р = Q; б) а = V2, Р = Q; в) а = V2, Р = R; г) ос = >/2, Р = С;
  • д) а =^2, Р = Q; е) а =^2, Р = R; ж) а = 72 + >/з, Р = Q; з) а = V2 + л/з + л/б, Р = Q; и) а =² +^3, Р = Q;
  • К) (X = 74 — 72 +1, Р = Q; л) а = itfUl, Р = R; м) ос = 7I+V2, Р = Q.
• 2. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби:

14 ^ 13 _Л 1, 1, 1.

^aJ 2+3V2' ^J 2+зГ ^BJ V2-V3'^rJ 72 + 73 +Vs'72−73'.

е) ——-, ос³ + Зос²-1 = 0; ж) ——-——, a³ + 4cc² + 8a + 8 = 0;

a + 2 a⁴ + 4a + 4.

• з) — —-, a⁴ — 5a³ + 9a² — 5a — 2 = 0.
• 3a³ -6a² +a-2