Влияние платы за контроль при циклических заказах

Реализация оптимальной политики требует знания текущего уровня чистого запаса х_п или фиктивного запаса х*_п в конце каждого этапа. Это подразумевает существование системы контроля состояния запаса, измерения количества продуктов, хранящихся на складе. Сама система может быть организована двумя способами — прямым и косвенным. Прямой состоит в непосредственном пересчете, измерении наличия. При косвенном осуществляется оценка путем суммирования (интегрирования) всех поступлений за вычетом всех продаж. Текущее балансовое сальдо (в натуральном выражении) и дает текущий уровень. Косвенный способ в определенной мере проще, однако ему свойственно накопление ошибок, что особенно характерно при работе с делимой продукцией. Поэтому на практике обычно реализуется комбинация косвенной оценки по результатам текущего учета и прямого измерения, переучета, осуществляемого через некоторые интервалы времени.

Характерные особенности функционирования систем с периодическим переучетом можно выяснить на следующей модели^[1].

Предположим, что:

• а) контроль фактического состояния запасов осуществляется в моменты времени t_n, причем t_n+{ — t_n = Д;
• б) в системе ведется текущий учет долга, так что в любой момент t_n возможно определение фиктивного запаса х*_п;
• в) каждый акт контроля связан с фиксированными издержками 1_С;
• г) учет единицы долга в течение единицы времени связан с издержкамир.

При такой организации не ведется полный текущий балансовый счет, а лишь учитываются отказы.

Попытаемся выяснить оптимальную политику управления и контроля.

Если интервал контроля, А считается фиксированным, то окажутся фиксированными и совокупные издержки на контроль: 1_СТ/А.

Затраты на учет всегда можно формально добавить к штрафу за неудовлетворение спроса, лишь изменив соответствующую постоянную. Таким образом, при фиксированном, А структура переменных издержек системы остается той же, что и в системе с непрерывным контролем. Следовательно, остается справедливым вывод об оптимальности политики стабилизации одного уровня (при отсутствии платы за заказ) и политики двух уровней (при наличии таковой). Но следует иметь в виду, что сами оптимальные уровни зависят от вероятностных характеристик спроса за интервалы А, а следовательно, зависят от А. Поэтому можно было бы поставить задачу о наилучшем выборе, А и соответствующих уровней.

Однако мы ограничимся рассмотрением более простой задачи^[2]. Предположим, что заказ на поставку осуществляется после каждого акта контроля, т. е. вне зависимости от того, выполнено ли условие х_п < s, посылается заказ на поставку объема S — х_п продукта, необходимого для доведения запаса до верхнего уровня S. Можно ожидать, что при рациональном выборе длительности цикла, А и максимального уровня S такая политика будет достаточно эффективной. Оценим издержки при ее осуществлении в стационарном режиме.

При этом необходимо использовать какую-либо гипотезу о распределении случайного спроса. Примем простейшее предположение, что суммарный спрос r (t) за любой отрезок времени длительностью t распределен экспоненциально с ожидаемым значением Xt, т. е.

Параметр X, очевидно, имеет смысл математического ожидания спроса за единицу времени. Рассмотрение каждого цикла можно вести независимо, поскольку при принятой политике изменение запаса внутри цикла (рис. 6.6) зависит только от времени t, прошедшего от его начала, когда был произведен контроль, и за счет получения поставки (запаздывание пока считается равным нулю) достигнут уровень S: x (t) = S — r (t).

Рис. 6.6. Динамика изменения запаса при отсутствии запаздывания.

Издержки за цикл равны.

где К — плата за заказ; 1_С — плата за контроль; I_h — плата за хранение; 1_р — издержки, связанные с дефицитом (штрафы и оплата учета).

Попытаемся выбрать параметры S и, А так, чтобы минимизировать издержки в единицу времени, равные /_д/А = /(5, А). Это требует большого количества трудоемких выкладок^[3], в ходе которых осуществляется переход к рассмотрению вместо (S, А) пары (а, А), где, а — безразмерный параметр: а = 5/(ХД) — отношение постоянного уровня к среднему спросу за цикл, и К* =К + 1_С. В результате получается формула.

Итак, оптимальная продолжительность цикла уменьшается по сравнению с уилсоновской в д/2а₀ раз, если плата за контроль отсутствует. Отметим, что а₀ возрастает с ростом р, и это уменьшение продолжительности связано с появлением случайности. Наличие же отличной от нуля платы за контроль ведет к увеличению продолжительности цикла.

Математическое ожидание уровня запаса внутри цикла меняется по формуле S — Xt. Средний уровень запаса за время цикла

ЛА о.

Поскольку а₀ :"1, то и-— = а₀ — 0,5 «1.

ХА Таким образом, при высоких уровнях штрафа р частота заказов становится выше, чем это требовалось бы по формуле Уилсона, причем средний уровень запаса поддерживается существенно выше среднего спроса за цикл.

Проследим теперь, как отражается на параметрах политики и на издержках фиксированное запаздывание в поставках, если предполагать, что оно достаточно мало, но сравнению с периодом контроля. Пусть 0 — запаздывание в поставках. Если в качестве цикла рассмотреть промежуток функционирования между двумя последовательными приходами поставок (рис. 6.7), то ясно, что внутри цикла изменение запаса происходит согласно формуле

Рис. 6.7. График изменения запаса при наличии запаздывания.

Проделав аналогичные выкладки, произведя переход от (S, А) к (а, А) и дополнительную оценку влияния 0, получим такую же формулу для А$:

причем >а₀.

Следовательно, учет запаздывания приводит к дополнительному снижению длительности периода контроля. Уровень S при этом повышается, так как.

Для нахождения S и, А можно эффективно использовать имитационные эксперименты.

• [1] Studies in applied probability and management science.
• [2] Первозванская Т. II., Первозванский А. А. Указ. соч.
• [3] Первозванс. кая Т. //., Первозванский А. А. Указ. соч.