Нечеткие высказывания. 
Теоретические основы информатики

Нечеткие множества и операции над ними позволяют формализовать естественную речь человека и применять к ним различные алгоритмы обработки информации.

Рис. 7.13. Растяжение нечеткого множества.

Переход от нечетких формулировок к понятиям теории нечетких множеств выполняется с использованием понятий нечеткой переменной и нечеткого высказывания.

Четкая (обычная) переменная х характеризуется тремя элементами:

• — именем (х);
• — областью определения X (множеством всех возможных значений);
• — четким множеством А? X (множеством значений переменной х).

Например, переменная х может рассматриваться на отрезке (множестве значений) А = [5; 15], где в качестве области определения выбрано X = R — множество действительных ч исел.

Нечеткая переменная х характеризуется:

• — именем (х);
• — предметной областью Х
• — нечетким множеством, определенным на X, или, что-то же самое, функцией принадлежности, определенной на X.

Например, нечеткая переменная х = «надежный» характеризуется именем («надежный»), предметной областью X = [0,100] (измеряется в процентах) и нечетким множеством Л, для которого, исходя из здравого смысла, р (х) = х.

Нечеткая переменная представляет собой ничто иное, как терм лингвистической переменной. Совокупность лингвистической переменной и некоторого набора нечетких переменных, представляющих собой терм-множество, приводит к понятию нечеткого высказывания.

Нечетким высказыванием (обозначается А, В и т. д.) называется конструкция (высказывание) одного из следующих видов:

• 1. Высказывание «Xi есть х», где Xi — наименование лингвистической переменной, х — ее терм, выраженный нечеткой переменной. Например, нечеткое высказывание «Объем продаж предприятия высокий» предполагает, что для лингвистической переменной X_L = «объем продаж» определен терм «высокий», выражаемый нечеткой переменной х — «высокий» (имеющей предметную область и заданную функцию принадлежности).
• 2. Высказывание «Х^ есть x», где — модификатор, которому соответствуют слова естественного языка «очень», «примерно», «намного больше», «слабее» и пр. Например, «Объем продаж предприятия А очень высокий», «Спрос на продукцию скорее низкий».
• 3. Высказывания, образованные из высказываний предыдущих двух типов, с использованием связок естественного языка «и», «или», «если…, то…», «если…, то…, иначе…».

Нечеткие высказывания являются аналогом (расширением) обычных (четких) высказываний. Существенная разница заключается в том, что обычные высказывания характеризуются только двумя значениями 0 и 1, а нечеткие — отрезком [0; 1]. Довольно часто полагают, что нечеткое высказывание определяется нечетким множеством (с функцией принадлежности, соответствующей нечеткой переменной).

Высказывания второго и третьего типов являются производными от высказываний первого типа. Вид нечеткого множества, характеризующего производное высказывание, определяется с помощью рассмотренных в параграфе 7.3 операций.

Пусть даны два нечетких высказывания A: «X_L есть х» и В: «Y_L есть у», А и В — нечеткие множества для х и у соответственно. Рассмотрим следующие производные высказывания.

• 1. С: «Xi есть очень х». Оно является высказыванием второго типа и определяется как производное высказывание от А, для которого нечеткое множество имеет вид CON (A).
• 2. D: «X_L сеть слегка х» {"Xi сеть более или менее т"). Оно является высказыванием второго типа и определяется как производное высказывание от А, для которого нечеткое множество имеет вид DIL (A).
• 3. A A В: «Xi есть x и У/, есть у». Оно является высказыванием третьего типа и определяется как производное высказывание от А и В, для которого нечеткое множество имеет вид А П В.
• 4. Л V В: «Хь есть х или У/, есть у». Оно является высказыванием третьего типа и определяется как производное высказывание от А и В, для которого нечеткое множество имеет вид A U В.
• 5. А В: «если Xi есть, т, то У/, есть у». Оно является высказыванием третьего типа и определяется как производное высказывание от Л и Б, для которого нечеткое множество имеет вид Л П В.

Пример 7.6. Рассмотрим нечеткие высказывания Л: «кредитная ставка высокая» и В: «заинтересованность клиента средняя» на единой предметной области. Пусть функции принадлежности, соответствующие нечетким множествам, имеют вид, как на рис. 7.14. Рассмотрим различные производные высказывания.

Рис. 7.14• Графики функций принадлежности высказываний: а) «кредитная ставка высокая»; б) «заинтересованность клиента средняя».

Высказывание С: «кредитная ставка очень высокая» понимается следующим образом. Для лингвистической переменной «кредитная ставка.» определен терм «высокий» с модификатором «очень», изменяющий нечеткое множество, связанное с этим термом, применением операции концентрирования, рис. 7.15, а.

Высказывание D: «кредитная ставка более или менее высокая». Для. лингвистической переменной «кредитная ставка» определен терм «высокий» с модификатором «более или менее», изменяющий нечеткое множество, связанное с этим термом, применением операции растяжения, рис. 7.15, б.

Рис. 7.15. Применение модификаторов: а) «очень»; 6) «более или менее».

Высказывание А Л В: «кредитная ставка высокая и заинтересованность клиента средняя». Для лингвистической переменной «кредитная ставка» определен терм «высокий», для лингвистической переменной «заинтересованность клиента» определен терм «средний». Результирующее нечеткое множество получается применением операции пересечения к нечетким множествам термов, рис. 7.16, а (результат выделен утолщенной линией).

Рис. 7.16. Графики функций принадлежности сложных высказываний: а) с применением связки «и» или «если…, то… «; б) с применением связки «или».

Высказывание Л V В: «кредитная ставка высокая или заинтересованность клиента средняя». Для лингвистической переменной «кредитная ставка» определен терм «высокий», для лингвистической переменной «заинтересованность клиента» определен терм «средний». Результирующее нечеткое множество получается применением операции объединения к нечетким множествам термов, рис. 7.16, б.

Высказывание А —> В: «если кредитная ставка высокая. то заинтересованность клиента средняя». Для лингвистической переменной «кредитная ставка» определен терм «высокий», для лингвистической переменной «заинтересованность клиента» определен терм «средний». Результирующее нечеткое множество получается применением операции пересечения к нечетким множествам термов, рис. 7.16, а.

На основе анализа графических результатов (или аналитических выражений, описывающих итоговые кривые), можно выполнять оценки значений функций принадлежности для различных значений предметной области. ?

Следует отметить, что для сложных высказываний, включающих связки «и», «или», «если…, то… «, в качестве операций над нечеткими множествами могут быть использованы другие, отличные от объединения и пересечения операции. Так, вместо пересечения можно использовать алгебраическое произведение.

или граничное произведение.

Вместо операции объединения можно использовать алгебраическую сумму.

или граничную сумму.

В качестве импликации можно выбрать импликацию Лукасевича.

или операцию вида.

Операции (7.15)—(7.20) являются альтернативами соответствующих булевых операций, как и пересечение, объединение и импликация для нечетких множеств. Нетрудно проверить, что для (7.15)—(7.16) выполняются булевы законы для конъюнкции (рис. 4.3), для (7.17)—(7.18) выполняются законы для дизъюнкции (рис. 4.6), а для (7.19)-(7.20) выполняются законы импликации (рис. 4.10). Таким образом, в граничных значениях единичного отрезка 0 и 1 соответствующие расширения булевых функций ведут себя одинаково, отличие составляет поведение функций на интервале (0; 1).

В литературе, посвященной нечеткому подходу, операции расширения конъюнкции получили название t-норм, расширения дизъюнкции t-конорм, расширения импликации — илтликатороо. Выбор конкретной операции-расширения определяется спецификой задачи, данными, мнениями экспертов и пр. Определение операции, наиболее адекватно описывающей некоторую ситуацию, является в общем случае нетривиальной задачей, для решения которой используют различные методы.