Исследование полета снаряда

Курсовая работа по математическому моделированию Исследование полета снаряда

Баллистика — военно-техническая наука, основывающаяся на комплексе физико-математических дисциплин, рассматривающая движение артиллерийских снарядов, пуль, мин и т. п. Процессы, протекающие внутри канала ствола при выстреле, изучает внутренняя баллистика. Внешняя баллистика занимается процессами, которые протекают от момента вылета снаряда из канала ствола до момента ее встречи с целью. Внешняя баллистика основывается на законах механики, тесно связана с аэродинамикой, гравиметрией и теорией фигуры Земли. Баллистический расчет дает все основные данные о траектории и характеристиках движения снаряда, исходя из которых можно судить о необходимых для оружия параметрах.

Полет снаряда. Рассмотрим теперь, что происходит со снарядом после того, как он покинет канал ствола.

На снаряд, вылетевший из канала ствола, действуют две силы:

· сила земного притяжения, которая зависит от величины массы снаряда — силы тяжести снаряда;

· сила сопротивления воздуха.

Сила тяжести направлена вертикально вниз и постепенно снижает траекторию снаряда. Воздушная среда оказывает сопротивление движению снаряда, отражающееся на его скорости.

Причины, вызывающие появление силы сопротивления:

· снаряд при движении раздвигает частицы воздуха, следовательно, часть его энергии расходуется на преодоление сил сцепления частиц воздуха;

· при движении снаряда часть его энергии расходуется на приведение в движение частиц воздуха впереди головной части снаряда;

· частицы воздуха во время движения снаряда скользят по его поверхности; при этом возникает сила трения, на преодоление которой тоже расходуется часть энергии снаряда;

· позади снаряда во время ее движения получается разреженное пространство, увеличивающее силу сопротивления воздуха.

Совокупность влияний на снаряд перечисленных факторов составляет силу сопротивления воздуха, действующую на снаряд во время полёта.

Сила сопротивления воздуха зависит от скорости полета снаряда, от его формы, массы, калибра, поверхности, плотности воздуха.

От увеличения плотности воздуха, калибра снаряда и ее скорости сопротивление воздуха возрастает, а чем глаже поверхность пули, тем меньше сила трения и сила сопротивления воздуха. Для нарезного оружия, имеющего сверхзвуковые скорости, у снарядов оптимальной формой является форма с удлиненной головной частью, а форма хвостовой части не имеет значения. При дозвуковой скорости целесообразно иметь удлиненную хвостовую часть, сужающуюся к концу. Рассмотрим теперь, как ведет себя снаряд при полете в воздушном пространстве. Введем два понятия — равнодействующую всех сил, образующих сил сопротивления воздуха, и точку ее приложения к пуле — центр сопротивления. Если бы пуля двигалась все время головной частью вперед, то сила сопротивления была бы направлена по оси пули от головной ее части к хвостовой. Такой случай на практике будет, когда пуля выстрелена вертикально вверх.

Продолговатый невращающийся снаряд при вылете из канала ствола под действием вылетающих вслед за ним газов, получив от них толчок, будет двигаться так, что его ось несколько отклонится от направления движения (от касательной к траектории). В результате одна сторона окажется более подверженной силе сопротивления воздуха, чем другая. Так как центр сопротивления лежит впереди центра тяжести, то снаряд будет опрокидываться. Чтобы избежать этого, ему придают вращение с помощью нарезов. В этом случае происходит следующее. Сила сопротивления воздуха стремится повернуть снаряд головной частью вверх и назад. Но головная часть снаряда в результате быстрого вращения отклонится не вверх, а весьма незначительно в сторону своего вращения под прямым углом к направлению действия силы сопротивления воздуха, т. е. вправо. Как только головная часть снаряда отклонится вправо, изменится направление силы сопротивления воздуха — она стремится повернуть головную часть снаряда вправо и назад, но поворот головной части снаряда произойдет не вправо, а вниз и т. д. Так как действие силы сопротивления воздуха непрерывно, а направление ее относительно снаряда меняется с каждым отклонением оси пули, то головная часть снаряда описывает окружность, а его ось — конус вокруг касательной к траектории с вершиной в центре тяжести, и пуля летит головной частью вперед. В результате вращательного движения пули и действия на нее силы сопротивления воздуха и силы тяжести происходит отклонение пули от плоскости стрельбы в сторону ее вращения. Отклонение пули от плоскости стрельбы в сторону ее вращения называется деривацией.

Исследования траектории пули в воздухе показывают:

· восходящая ветвь траектории длиннее и отложе нисходящей ветви;

· угол падения больше угла бросания;

· скорость пули в точке падения меньше начальной;

· наименьшая скорость полета пули при стрельбе под большими углами бросания — на нисходящей ветви траектории, а при стрельбе под небольшими углами бросания — в точке падения;

· угол наибольшей дальности меньше 45°;

· время движения пули по восходящей ветви меньше времени движения по нисходящей ветви траектории;

· траектория вращающейся пули под действием силы тяжести и деривации представляет собой линию двоякой крутизны. В плоскости стрельбы имеет две ветви и первую крутизну, при виде сверху (в плане), в силу деривации — отлогую кривую, обращенную выпуклостью в сторону к плоскости стрельбы;

Аналитическое решение. Идеализация модели

1. Земля плоская

2. Не учитываем возможное влияние ветра

3. Считаем значения плотности воздуха и ускорения свободного падения не зависящими от высоты

4. Не учитываем вращение снаряда в полете, а следовательно и деривацию

Переменные

— масса снаряда

— его начальная скорость

— ее проекции

— угол бросания (угол возвышения орудия)

— ускорение свободного падения

— сила сопротивления воздуха

— сила тяжести

— аэродинамический (баллистический) коэффициент

— площадь поперечного сечения снаряда

— плотность воздуха

Уравнения связи

Напишем второй закон Ньютона для нашего снаряда:

Распишем:

То же самое в проекциях на OX и OY:

Распишем силы:

причем знак минус показывает что вектор силы (и ускорения) направлен противоположно вектору скорости.

Подставим их в проекции:

причем знак минус перед mg появился из-за того что a_x направлен вверх, а g — вниз.

Поделив на m получим выражения для проекций ускорения:

Или:

Учтем что:

Получим:

Возьмем интеграл для составляющей OX:

Взятие интеграла для составляющей OY аналогично, но полученное выражение будет отличаться от выражения для OX на величину

" :

В результате получены выражения удобные для обработки с помощью ODE в MATLAB

Matlab

Проверка корректности

Вначале убедимся в корректности нашего метода (построим 3 траектории: с помощью явного задания уравнений движения, с помощью ODE без сопротивления воздуха и с помощью ODE с учетом сопротивления (но с зануленным баллистическим коэффициентом)). Кроме того необходимо сказать что данные масса, калибр, начальная скорость и баллистический коэффициент взяты для снаряда 76-мм дивизионной пушки образца 1939 года (УСВ): m-файл:

function polet

clear all

global Cx S Pv m a V0 g y

V0 = 680; % начальная скорость

a = 45; % угол бросания (возвышения орудия)

g = 9.8; % ускорение свободного падения

m = 6.3; % масса снаряда

cal = 76; % калибр (в мм)

S = pi * (cal / 1000) ^ 2% площадь поперечного сечения снаряда (мидель)

Cx = 0; % аэродинамический (баллистический) коэффициент

Pv = 1.225; % плотность воздуха (на уровне моря)

NU = [0; 0]; % координаты в начальный момент времени

t = 100; % время, в течение которого ведется расчет

hold

% проверка (явное задание)

tp = 0: t;

x = V0 * cosd (a) * tp;

y = V0 * sind (a) * tp — g .* tp.^2 / 2;

plot (x, y, 'r*')

%без сопротивления

[T, Y]=ode45(@Simple, [0 t], NU);

plot (Y (, 1), Y (, 2), 'b')

%с сопротивлением

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot (Y2(, 1), Y2(, 2), 'g.')

xlabel 'Range'

ylabel 'Height'

axis ([0 50 000 0 50 000])

grid

function Simple = Simple (t, x)

global m a V0 g

Simple = [ V0 * cosd (a); V0 * sind (a) — g * t ];

function Complex = Complex (t, x)

global Cx S Pv m a V0 g

Complex = [ (2*m*V0*cosd (a)) / (Cx*S*Pv*V0*cosd (a).*t + 2*m) ;

(2*m*V0*sind (a)) / (Cx*S*Pv*V0*sind (a).*t + 2*m) — g.*t ];

Графическая интерпретация:

Увеличим:

Как видно из графиков, снаряд данного орудия в отсутствии сопротивления воздуха способен пролететь 45 км. Однако добавление сопротивления среды катастрофически сказывается на дальности:

Получаем вполне реалистичную картину, дальность полета данного снаряда (при угле возвышения 45 градусов) составляет около 5.5 км.

В дальнейшем не будем строить проверочные графики.

Влияние различных факторов на дальность полета снаряда и его траекторию

Начальная скорость

Графики наглядно иллюстрируют, что удвоение начальной скорости не приводит к аналогичному увеличению дальности, кроме того, можно отметить снижение воздействия сопротивления воздуха при уменьшении скоростей (график для малой скорости ближе к параболе)

Баллистический коэффициент снаряда

Баллистический коэффициент оказывает куда большее влияние на полет снаряда, с его уменьшением на 25% дальность возрастает 1.2 км. Однако его уменьшение технически весьма проблематично. Выходом может являться уменьшение калибра снаряда, но это скорее всего приведет к снижению массы, что негативно скажется на дальности. Таким образом улучшение аэродинамических характеристик снаряда является как наиболее эффективным средством увеличения дальности, так и наиболее сложным в техническом плане.

Угол возвышения орудия

Мы получили экспериментальное подтверждение того, что угол наибольшей дальности менее 45 градусов и составляет порядка 30−35 градусов

Масса снаряда

Зависимость от массы очень похожа на зависимость от баллистического коэффициента (БК), например увеличение массы вдвое эквивалентно уменьшению вдвое БК. Однако при этом необходимо помнить что для придания снаряду большей массы той же начальной скорости что и снаряду стандартной массы необходимо увеличение количества взрывчатого вещества (пороха) в снаряде (здесь под снарядом подразумевается не только «болванка», полет которой мы изучаем, но и гильза, ВВ и т. п.). Кроме того скорее всего потребуется упрочнение орудия, что может быть признано нерациональным для орудия данной категории и калибра.

баллистика снаряд траектория программа

Листинг (m-файл)

function polet

clear all

global Cx S Pv m a V0 g y

V0 = 680; % начальная скорость

a = 45; % угол бросания (возвышения орудия)

g = 9.8; % ускорение свободного падения

m = 6.3; % масса снаряда

cal = 76; % калибр (в мм)

S = pi * (cal / 1000) ^ 2% площадь поперечного сечения снаряда (мидель)

Cx = 0.2; % аэродинамический (баллистический) коэффициент

Pv = 1.225; % плотность воздуха (на уровне моря)

NU = [0; 0]; % координаты в начальный момент времени

t = 100; % время, в течение которого ведется расчет

colour = ['r' 'g' 'b' 'c' 'm'] % цвета графиков

kV0 = [340 580 680 780 1360] % начальная скорость

ka = [25 35 45 55 65] % угол бросания (возвышения орудия)

kCx = [0.1 0.15 0.2 0.25 0.3] % аэродинамический (баллистический) коэффициент

km = [3.15 5.3 6.3 7.3 12.6] % масса снаряда

% Зависимость от Vo

figure

hold

for i = 1:5

V0 = kV0(i)

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot (Y2(, 1), Y2(, 2), colour (i))

end

title 'Зависимость от Vo'

xlabel 'Дальность'

ylabel 'Высота'

legend 'Vo = 340' 'Vo = 580' 'Vo = 680' 'Vo = 780' 'Vo = 1360'

axis ([0 10 000 0 10 000])

grid

V0 = kV0(3)

% Зависимость от a

figure

hold

for i = 1:5

a = ka (i)

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot (Y2(, 1), Y2(, 2), colour (i))

end

title 'Зависимость от a'

xlabel 'Дальность'

ylabel 'Высота'

legend 'a = 25' 'a = 35' 'a = 45' 'a = 55' 'a = 65'

axis ([0 10 000 0 10 000])

grid

a = ka (3)

% Зависимость от Cx

figure

hold

for i = 1:5

Cx = kCx (i)

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot (Y2(, 1), Y2(, 2), colour (i))

end

title 'Зависимость от Cx'

xlabel 'Дальность'

ylabel 'Высота'

legend 'Cx = 0.1' 'Cx = 0.15' 'Cx = 0.2' 'Cx = 0.25' 'Cx = 0.3'

axis ([0 10 000 0 10 000])

grid

Cx = kCx (3)

% Зависимость от m

figure

hold

for i = 1:5

m = km (i)

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot (Y2(, 1), Y2(, 2), colour (i))

end

title 'Зависимость от m'

xlabel 'Дальность'

ylabel 'Высота'

legend 'm = 3.15' 'm = 5.3' ' m = 6.3' 'm = 7.3' 'm = 12.6'

axis ([0 10 000 0 10 000])

grid

function Complex = Complex (t, x)

global Cx S Pv m a V0 g

Complex = [ (2*m*V0*cosd (a)) / (Cx*S*Pv*V0*cosd (a).*t + 2*m); (2*m*V0*sind (a)) / (Cx*S*Pv*V0*sind (a).*t + 2*m) — g.*t ];