Решение интегральных уравнений

В этой главе кратко рассматриваются алгоритмы численного решения интегральных уравнений. Задача решения интегральных уравнений возникает, например, при решении обратных задач, при обработке результатов наблюдений.

Интегральным называют уравнение, в котором неизвестная функция и (х) стоит под знаком интеграла. Мы будем рассматривать одномерные линейные интегральные уравнения. Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид.

где ядро К (х, у) и правая часть /(.г) — заданные функции, К (х, у) определено на квадрате а < х < Ь, а < у < Ь. Если ядро К (х, у) отлично от нуля только на треугольнике а< у < х< b (т.е. К{х, г/) = 0 при х < у), то уравнение переходит в уравнение Вольтерра второго рода.

Это уравнение теоретически исследовать или численно решить много проще, чем уравнение Фредгольма. Если в уравнениях (9.1) и (9.2) отбросить член и (х), оставив только и (у) под знаком интеграла, то получим уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными и требуют применения специальных методов решения, рассмотрение которых выходит за рамки этой книги.

К интегральным уравнениям приводят многие физические задачи. Так, задача восстановления переданного радиосигнала u (t) по принятому сигналу /(?) сводится к решению интегрального уравнения типа свертки: где ядро К (у) зависит от свойств приемной аппаратуры и среды, через которую проходит сигнал.

Для однородного уравнения Фредгольма второго рода.

(9.1) ставится задача на собственные значения:

Требуется найти такие значения параметра X = Х_п, при которых уравнение (9.3) имеет нетривиальные решения и (х) = <�р"(х); Х_п называют собственными значениями ядра К (х, у), а <�р"(х) — собственными функциями. Неоднородное уравнение Фредгольма (9.1) при значении параметра р, не равном ни одному из собственных значений Х" ядра, имеет решение и (х), притом единственное. Пусть параметр р равен одному из собственных значений Х_п ядра К (х, у). Тогда неоднородное уравнение Фредгольма (9.1) при произвольной правой части /(х), вообще говоря, не имеет решения. Однако при некоторых правых частях f (x) оно может иметь решение, притом не единственное. Таким образом, при р = Х_п задача (9.1) в классе непрерывных или даже достаточно гладких правых частей f (x) является некорректно поставленной. Уравнение Вольтерра не имеет собственных значений: если в уравнении (9.1) положить /(.г) = 0, то оно будет иметь только тривиальное решение и (х) = 0. Поэтому неоднородное уравнение (9.1) всегда имеет решение, притом единственное.