Пример системы тревоги в доме

Такая система должна обнаруживать проникновение в дом с целью кражи, но может срабатывать также и при землетрясении. Имеется два соседа: Иван и Мария, которые обещают звонить хозяину дома, когда услышат тревогу. Иван звонит всегда, когда слышит тревогу, но иногда путает телефонный звонок с тревогой и тоже звонит. Мария любит слушать музыку и иногда не слышит тревоги вообще. Зная вероятности того, что кто-то из них звонит или не звонит, система должна оценить вероятность кражи. Соответствующая БС представлена на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Топология байесовской сети.

Топология БС может рассматриваться как абстрактная база знаний с 5 узламисобытиями: Тревога (решающий узел); Кража, Землетрясение (родительские узлы для узла Тревога), Звонит Иван, Звонит Мария (дочерние узлы для узла Тревога).

Топология сети представляет собой общую структуру причинных процессов в этой проблемной области. Она показывает, что события Кража и Землетрясение могут вызвать сигнал тревоги и прямо влияют на вероятность тревоги. Сеть соответствует предположению, что звонки Ивана и Марии зависят не только от сигнала тревоги, но причине кражи, но и звонка телефона в доме, а также могут вообще отсутствовать, если сигнал тревоги не услышан из-за шума. Факторы неопределенности суммируются в связях от узла Тревога к узлам: Звонит Иван и Звонит Мария. Например, Мария может в текущий момент слушать или не слушать громкую музыку. Это отображается в вероятностях, которые суммируют потенциально неопределенный набор возможных обстоятельств, в которых сигнал тревоги может быть не услышан или Мария может ошибочно позвонить и сообщить о тревоге при выключении электричества в доме или другим причинам.

Определив топологию БС, нужно определить таблицы условных вероятностей

(ТУВ) для каждого узла. Каждая строка ТУ В содержит условную вероятность возникновения события узла при определенном условии. Такое условие является возможной комбинацией значений вероятностей родительских узлов. Например, ТУВ для узла Тревога, т. е. для случайной переменной Тревога (А) по отношению к переменным Кража (В) и Землетрясение (Е), представлена в табл. 7.2.

Заметим, что каждая строка ТУВ в сумме вероятностей должна давать единицу. ТУВ для булевой переменной с п булевыми родителями должна содержать 2^п независимо специфицированных вероятностей.

Таблица 7.2

Таблица условных вероятностей.

Соответственно, для переменных Кража и Землетрясение имеем ТУВ с одной вероятностью:

Для узлов Звонит Иван (переменная J) и Звонит Мария (переменная М) ТУВ будут содержать по две вероятности, зависящие от истинности или ложности тревоги при их звонках:

P (J) = 0,90 при А = Истинно или P (J) = 0,05 при А = Ложно;

Р (М) = 0,70 при А = Истинно или Р (М) = 0,01 при А = Ложно.

Такая БС обеспечивает полное описание данной проблемной области. Каждая вероятность входной величины узла может быть вычислена по информации в сети. Общая вероятность для узла определяется через входные вероятности как произведение подходящих элементов ТУВ узлов БС:

Например, может быть вычислена вероятность события, что сигнал тревоги прозвучал, но ни кражи, ни землетрясения не было, а Иван и Мария звонили:

Основная задача любой системы с вероятностным выводом — вычислить апостериорное распределение вероятностей для набора решающих переменных по известным переменным свидетельств, связанными с ними. В приведенном примере узел Кража определяет решающую переменную, а узлы Звонит Иван и Звонит Мария определяют переменные свидетельств для нее.

Вероятностная машина вывода получает значения переменных свидетельств от соответствующих узлов и вычисляет значение решающей переменной, связанной с переменными свидетельств. Машина вывода должна использовать две функции: «БС-добавить» для добавления свидетельства к сети и «Б С-спросить» для вычисления распределения апостериорной вероятности решающей переменной. При этом вывод может быть 4 типов: 1) диагностический — от эффекта к причинам; 2) причинный — от причин к эффектам; 3) внутрипричинный — между причинами общего эффекта; 4) смешанный — комбинирующий предыдущие типы.

Пример диагностического вывода

Определим Р (В / J) — вероятность того, что имеется кража, когда Иван позвонил. Вычисление этой вероятности затруднительно для человека.

Некорректная, но общая линия вывода стартует от наблюдения, что если сигнал тревоги имеет место, звонки Ивана будут правильными на 90%. Сигнал тревоги всегда соответствует краже, поэтому вероятность Р (В /J) должна также быть около 0,9 или может быть 0,8 в худшем случае. Однако эта линия вывода игнорирует априорную вероятность звонка Ивана. В течение периода 1000 дней можно ожидать одну кражу, которая сопровождалась звонком Ивана. Он также может звонить с вероятностью 0,005, когда в действительности не было сигнала тревоги, т. е. около 50 раз в течение 1000 дней. Таким образом, можно ожидать получения 50 ложных тревог от Ивана на одну реальную кражу. Поэтому вероятность Р (В /J) будет около 0,002. В действительности, если выполнить точные вычисления, можно получить истинное значение Р (В / J) = 0,016.

Можно вычислить и другие вероятности диагностического типа. Так, вероятность того, что имеет место кража при звонках Ивана и Марии, Р (В /J лМ) = 0,29, а вероятность того, что есть сигнал тревоги при звонках Ивана и Марии, — Р (А /J д М) = 0,29.

Примеры выводов других типов

Причинный вывод имеет место, если, например, требуется определить вероятность того, что Иван или Мария будет звонить, если имеет место кража.

В нашем случае вычисление дает P (J / В) = 0,86 и Р (М / В) = 0,67.

Внутрипричинный вывод может дать следующее. Если имеется сигнал тревоги, можно вычислить Р (В / А) = 0,376. Но если добавить свидетельство того, что землетрясение истинно, то вероятность Р (В / А а Е) снизится до 0,003.

Полагая, что эффект звонка Ивана истинен и причина — землетрясение — ложная, можно вычислить вероятности для вывода смешанного типа: