Основные элементарные функции

Перечислим основные элементарные функции, которые станут главным предметом нашего дальнейшего рассмотрения, они появляются при решении самых разнообразных задач и чаще других используются как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях.

Линейная функция. у = ах+ b, где аЬ — заданные действительные числа. Графиком линейной функции является прямая. Верно и обратное утверждение: всякая не вертикальная прямая является графиком некоторой линейной функции.

Пример ^.

Построить график функции у = -х + 1.

Чтобы провести прямую на плоскости хОу, достаточно построить две ее точки.

При х = 0 имеем у =1; полагая у = 0, находим х = -2. Через две точки М,(-2,0) и М₂(0, 1) проводим прямую, которая является графиком данной линейной функции (рис. 10.2).

Функция определена на всей числовой прямой.

Квадратичная функция (квадратный трехчлен): у = = ах¹ + Ьх + с, где а, Ь, с — заданные действительные числа, а ^ 0. Графиком квадратичной функции является парабола, ось симметрии которой параллельна оси Оу. Высшая (или низшая) точка параболы (расположенная на оси симметрии) называется ее вершиной.

Свойства функции и вид ее графика (рис. 10.3) определяются в основном значениями коэффициента а и дискриминанта D = Ь² — Аас.

Можно выделить полный квадрат из выражения для квадратичной.

b)² Ь²— Аас

функции: у = ах~ + Ьх + с = а х+ — —, и (или) разложить на ли;

2а) Аа

нейные множители.

При D > 0 у = а (х — х_{)(х — х₂), при D = 0 у = а (х — х_{)², при D < 0 разложить на множители нельзя.

а> 0; оо), при а < 0 (-°°;—]. При b = 0 функция четная, при b ^ О.

4 а 4 а

функция ни четная, ни нечетная. При I) > 0 функция имеет два нуля: х_х =

• -ь-ibл + Vd _Л -ь _п
• 2а ^{9 2} 2а

лей нет.

Промежутки знакопостоянства:

у > 0 при х € (-°°; х_х) U (х₂; оо), у < 0 при х е (х,; х₂);

если, а > О, D = 0, то у > 0 при х е (-°°; х_х) U (х₂; оо); если а > О, D > 0, то у > 0 при х е (-°°; +°°);

у > 0 при х € (х,; х₂),.

2а

Область определения: х е (-оо; +оо). Область значений функции при.

х₂ ⁼-о-> ^ПР^И 0 = 0 — один нуль — х_х = —; при D < О ну;

если я > О, D > 0, го если «< О, D > 0, то j J < _{0 п}?_{и х е} U (х₂; оо);

если я < О, D = 0, то у < 0 при х € (-со; х_х) U (х₂; оо);

если а < О, D < 0, то у < 0 при х е (-°°; +°°).

Промежутки монотонности: п _и > О IФУ^НКЦИЯ возрастает при х еЬ/2а +°°),.

^ПР^{И а} | функция убывает при х е (-°°; -Ь/2а,

п _и < О IФУ^НКЦИЯ возрастает при х е (-°°; -Ь/2а,

^ПР^{И а} | функция убывает при х е -Ь/2а +оо).

Экстремумы квадратичной функции:

^ b D

при а > 0 x_min = - —, y_min = - —;

п Ъ Ъ

при а < 0 х_тах = - —, у_тах =

2а 4 а

Далее, опуская детали, продолжим рассмотрение элементарных функций. В каждом случае читателю предлагается провести самостоятельное исследование свойств функции, обосновывающие приводимый график.

Степенная функция, у = х^п. При п = 1 и при п = 2 функция, соответственно, принимает вид у = х и у = х²; в первом случае графиком является прямая, во втором — парабола (рис. 10.4). На этом же рисунке изображен график функции для п = 3 (кубическая парабола) и при п = В последнем случае функцию чаще записывают в виде: у = Vx.

Замечание. Обратим внимание на функцию у = л[х. Это соотношение равносильно тому, что х = у² (у > 0). По если в этом уравнении поменять ролями ар;

гумент и функцию, т. е. поменять местами х и у, то мы придем к квадратной функции у = х². Таким образом, в паре функций у = х² и у = л[х одна получается из другой, если аргумент и функцию поменять местами. По определению, такие функции называются взаимно обратными.

Степенная функция не является периодической ни при каких п. Если п — натуральное число, то функция является четной при четном п и нечетной при нечетном п. Если п нечетное, то функция возрастает на (-°°; +°°); если п — четное, то убывает на (-°°; 0] и возрастает на 10; +°°); если п — целое отрицательное число, то в этом случае функция определена при всех значениях х, кроме х = 0.

Показательная функция, у = а^х; а > 0, а ^ 1. Эта функция (рис. 10.5) определена при всех значениях ж. Ее область изменения (0; +°о). Если а > 1, то функция всюду возрастает; если 0 < а < 1, то убывает. Показательная функция не является периодической.

Логарифмическая функция, у = log,/г; а > 0, а ^ 1. Эта функция (рис. 10.6) определена при х > 0. Ее область изменения — вся числовая ось (—оо; +°о). Если а > 1, то она возрастает на (0; +°°); если 0 < а < 1, то убывает. Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом, для него принято специальное обозначение: log^x = In х.

Поскольку соотношение у = log"x, по определению логарифма, равносильно равенству х = а^у, то функция у = а ' и у = log_nx взаимно обратные. Поэтому для построения логарифмических кривых достаточно зеркально отразить графики соответствующих показательных функций, изображенных на рис. 10.5, относительно биссектрисы первого и третьего координатного углов.

1. Синус: у = sin*. Эта функция определена на (-°°; +°°). Ее область из;

ТС

менения [-1; + 1|. Синус — нечетная функция. Возрастает на (— + 2тin;

тс тс Зтс ^

— + 2лп), убывает на (- + 2лгг, — + 2лп), где п е Z. Является периодичес кой функцией с периодом Т = 2л (рис. 10.7).

2. Косинус, у = cosх. Область определения (-°°; +°о). Область изменения [-1; + 11. Функция четная. Возрастает на (-л + 2ля; 2лп), убывает на (2лт? + л + 2пп), где п е Z. Является периодической функцией с периодом Т= 2л (см. рис. 10.7).

3. Тангенс: у = tgx. Область определения (— + пп; - + пп), где п е Z.

Область изменения (-°°; +°°). Функция нечетная. Возрастает всюду на К тс

• (— + ли; - + ли), и е Z. Является периодической функцией с периодом Г = л (рис. 10.8).
• 4. Котангенс: у = с tgx. Область определения (ли; л + ли), где и е Z. Область изменения (-оо; +оо). функция нечетная. Убывает на (ли; л + ли), и е Z Является периодической функцией с периодом Т = к (рис. 10.9).

Рис. 10.8. Функция тангенс Рис. 10.9. Функция котангенс Обратные тригонометрические функции: у = arcsinx, у = arccosx, у = = arctgx, у = arcctgx. Как свидетельствует само название, эти функции являются обратными к соответствующим тригонометрическим функциям. Например, соотношение у= arccosx равносильно тому, что х = cos у (при этом у как радианная мера угла удовлетворяет ограничению: 0 < л < л). Поэтому для построения графиков обратных тригонометрических функций следует прибегнуть к уже испытанному приему: зеркально отразить соответственно синусоиду, косинусоиду, тангенсоиду и котангенсоиду относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, сохранив ту.

Отметим, что аргумент х в формулах у = sin. г, у = cos а: и т. д. выражается в радианах. В элементарной тригонометрии при измерении углов за единицу отсчета чаще всего принимают центральный угол окружности, опирающийся на дугу, составляющую 1 /360 окружности. Этот угол равен одному градусу (градусная система счисления). Но в научных расчетах применяется и другая система счисления углов, когда за единицу отсчета принимают центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Этот угол называется радианом (радианная система измерения.

углов). Угол в 1 радиан равен углу в — ~ 57°, а угол в 180° равен углу в п ~ 3,141… радиана.

Сложная функция. Если у есть функция от и, переменная и есть функция от х, т. е. у = /(«), и = <�р (.г), то у называется функцией от функции, или сложной функцией: у =/|(р (.г)|.

Примеры сложных функций: у = log_n(sinx), у = 2^s'" / у = Vcosa⁷.

Элементарной функцией назовем функцию, которая получена из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Алгебраические и трансцендентные функции. К алгебраическим функциям относятся:

а) многочлены — у = а₀х" + a_ix" ' + a_rv" ² +… + а_п, в частности, линейная функция у = ах + b и квадратичная у = ах² + Ьх + с;

б) дробно-рациональные функции

т.е. функции, определяемые как отношение двух многочленов;

в) иррациональные функции, т. е. функции у = f (x), где наряду с операциями сложения, вычитания, умножения и деления производятся также операции возведения в степень с дробными рациональными показателями, лг^! + 'фх

например, у = л[х, у =, и т.н.

Ух² + 1.

Вообще, алгебраической функцией называется функция у = /(х), которая удовлетворяет уравнению вида

где Р_0У Р_р Р₂уР_п — многочлены, зависящие от х.

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Показательная, логарифмическая, тригонометрические функции я в л я ются транс цен дентн ы м и.