Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Сколько видов симметрии в равностороннем треугольнике?
• 2. На какие классы и виды могут быть разделены все случайные и соответствующие им марковские процессы?
• 3. Приведите примеры случайных процессов разных классов.
• 4. Запишите выражение на основе квадрографа времени, объединяющее различные классификации марковских процессов.
• 5. Нарисуйте многосвязный граф классификации марковских процессов и моделей рисков.
• 6. Дайте определения неотрицательной матрицы, стохастической матрицы.
• 7. Что представляет собой вещественный вектор?
• 8. Что представляет собой цепь Маркова?
• 9. Дайте определение марковскому элементу.
• 10. Что представляют собой матрицы соответствующие?
• 11. Что представляет собой граф размеченный?
• 12. Для чего применяются марковские цепи?

Задания для самостоятельной работы

• 13.1. Обоснуйте, нрав ли В. Феллер^[1] в отношении к А. Маркову, сводя его заслуги в отношении марковских цепей к утверждению эквивалентности цепей Маркова урновой схеме (которую Феллер считает более общей) но в новой терминологии и понятиях?
• 13.2. Имеется шесть изображенных на фото пинеток (рис. 13.7). Ребенок — дальтоник. Мама — не дальтоник, по не знает об особенностях зрения малыша. Требуется:
• 1) пользуясь формулой Маркова для прогнозирования будущего, вычислить вероятность того, что если малыш сам надел первую голубую пинетку, вторая пинетка окажется такого же цвета; 2) оценить, похвалит ли мама малыша за самостоятельность или отшлепает с позиций теории решений; 3) назначить гарантийный срок службы пинеток из принципа практической целесообразности и законов роста малыша.

Рис. 13.1. К заданию 13.2 (пара розовых, пара голубых и пара розовых пинеток)

13.3 (парадокс Бертрана или счастье и риск комплектовщика ячеек МЭМС).

У комплектовщика ячеек МЭМС гироскопами произошло случайное перепутывание ящиков (такое явление возникает при горячке па сборочном участке в конце месяца, когда надо сдать в срок МЭМС), в которых были разложены годные (Г) и дефектные (Д) по внешнему виду гироскопы. Известно было, что в первом ящике было 2 Г, во втором — 1 Г + 1Д, в третьем — 2Д. Из случайно выбранного ящика вынимается один гироскоп, и он оказывается годным (1^). Требуется найти вероятность Р (ящик 1/Г₂) того, что второй гироскоп в том же ящике тоже будет годным.

• (0,4 0,6^
• 13.4. Задана матрица Р_х = вероятностей перехода дискретной цепи

^ и, о U, / ^.

Маркова из г-го состояния вj-e за один шаг (ij =1,2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момеит7 = 0 определяется вектором (матрицей-строкой) q = (0,1 0,9). Требуется найти: 1) матрицу перехода цепи из состояния i в состояниеj за два шага; 2) матрицу перехода цепи из состояния i в состояние j за один шаг.

13.5. Даны формулировка и решение задачи. Требуется найти ошибки в условии некорректно-поставленной задачи и ее решении.

о Р Г⁰'^{5 0}'⁸1 — - N.

Задана матрица Р, = вероятностей перехода дискретной цепи Мар;

^0,6 0,7J.

кова из i-го состояния в j-e за один шаг (i, j = 1,2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент 7 = 0 определяется вектором (матрицей-строкой) q = (0,5 0,5). Требуется найти: 1) матрицу Р₂ перехода цепи из состояния i в состояние j за два шага; 2) матрицу Р_х перехода цепи из состояния i в состояние j за один шаг.

Найдем матрицу Р₂ перехода за два шага:

Решение. В случае однородности дискретной цепи Маркова для нее справедливо соотношение Р_п = Р", где Р, — матрица переходных вероятностей за один шаг; Р_п — матрица переходных вероятностей за п шагов; для п = 2, вычислим произведение матриц:

Найдем матрицу P_t перехода за один шаг:

• 13.6. Используя данные примера 13.3, требуется:
• 1) составить программу для расчета финальных вероятностей ВЦ согласно приведенным формулам;
• 2) проверить полученные авторами (Вентцель, Овчаров) значения финальных вероятностей ВЦ: р₀ ~ 0,216, р_х ~ 0,432, р₂ ~ 0,288,р₃ ~ 0,064 при г= 0,3; q = 0,2;
• 3) найти значения финальных вероятностей при г — 0,9; q = 0,1.
• 13.7. Случай из практики. Корректно ли поставлена задача для принятия ответственного решения комиссией из 14 человек, последовательно извлекающих шары по одному из урны, заранее содержащей 5 черных и 9 белых шаров?
• 13.8. Галилео Галилей¹ ставит задачу о прочности каната, не зная цепей Маркова. Насколько цепи Маркова помогли бы решить Галилею эту задачу? (Для ответа рекомендуем обратиться к книге (опирающейся на упомянутую выше книгу В. Феллера) Дж. Богданоффа (профессора Университета Пердью) и Ф. Козина^[2][3].)

• [1] См.: Феллер В.

  Введение

  в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. М.: Мир, 1967.Т. 1. С. 365, 366.

• [2] Галилей Г. Сочинения / пер. С. Н. Долгова. М.; Л.: Гостехиздат, 1934. Серия «Классикиестествознания». Т. 1. С. 56—62, 235.
• [3] Богданов Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений. М.: Мир, 1989.