Лингвистическая переменная. 
Математическая логика

Нечеткая логика — обобщение классической логики с лингвистической переменной, принимающей значения «очень истинно», «более-менее Лингвистическая переменная принимает значения из множества слов или словосочетаний естественного или искусственного языка^[1]. Множество допустимых значении лингвистической переменной называется терммножеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений.

Определение. Лингвистическая переменная задается пятеркой (X, Т, U, G, М), где X — имя переменной; Т — терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве U; G — синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; М — семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.

Пример 6.2^[2]

Рассмотрим лингвистическую переменную с именем X = «температура в комнате». Тогда оставшуюся четверку (Т, U, G, М) можно определить гак: универсальное множество — U = [5; 35]; терм-множество — Т= {"холодно", «комфортно», «жарко"} с такими функциями принадлежностями (л: е U):

синтаксические правила G — порождающее новые термы с использованием квантификатора {"не", «очень» и «более-менее"}; семантические правила М зададим в виде табл. 6.1.

Таблица 6.1

Правила расчета функций принадлежности к примеру 6.2.

Графики функций принадлежности термов «холодно», «не очень холодно», «комфортно», «более-менее комфортно», «жарко» и «очень жарко» лингвистической переменной «температура в комнате» показаны на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Лингвистическая переменная «температура в комнате»:

• —холодно;——не очень холодно;…— комфортно;
• — болес-менсс комфортно;———жарко; —? — очень жарко

Квантификаторы «более-менее» и «очень» часто применяют к нечетким множествам «истинно» и «ложно», получая таким образом термы «очень ложно», «более-менее ложно», «более-менее истинно», «очень истинно», «очень, очень истинно», «очень, очень ложно» и т. п.

Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств «истинно» и «ложно». Операция концентрации соответствует (рХ-*))²' ^а операция растяжения — (рХ-^г))^½;

Следовательно, функции принадлежности термов «очень, очень ложно», «очень ложно», «более-менее ложно», «более-менее истинно», «истинно», «очень истинно» и «очень, очень истинно» задаются следующим образом:

Мчочень ложно" (х) = (ц «ложно» С*))²;

«очень, очень ложно» v~v г""очеиь ложно"'.

«более-менее ложно» С^) ^— (Мчложно" (X))V2;

Мчболее-менее истинно" ^— (^"истинно" (х))½;

М-«очень истинно» О') = (ц.

«истинно» (х))²;

Мчочень. очень ложно" (х) = (и «очень ложно» (х))²;

Р"очень, очень истинно" (х) = (|Я.

«очень истинно» (Х))2.

Рис. 6.13. Лингвистическая переменная «истинность» но Балдвину¹:

—ложно;———более-менее ложно;——очень ложно;

…— очень, очень ложно;—истинно;———более-менее истинно;

——очень истинно;…— очень, очень истинно Графики функций принадлежности этих термов показаны на рис. 6.13.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает семь. Важное приложение нечеткая логика имеет в организации и управлении бизнесом, где активную роль играет менеджер. Рассмотрим следующий пример.

Пример 6.3.

Менеджер планирует деятельность фирмы, работающей на рынке недвижимости, на следующий год. Целевая функция плана — диапазон прибыли, на которую можно рассчитывать.^[3]

Для решения задачи существуют четыре нечетких утверждения, выявленных из статистики деятельности фирмы за несколько прошедших лег:

• 1) в течение каждого года в фирму приходят примерно 75 потенциальных клиентов;
• 2) из потенциальных клиентов примерно 30% совершают сделки;
• 3) стоимость недвижимости, фигурирующей в сделках, составляет примерно 142 000 долл.

Если просто перемножить эти четыре значения, получим 176 700 долл. Такова сумма прибыли за год, если ее вычислять обычным способом.

При этом менеджер осознает следующее.

1. Когда предполагается 75 потенциальных клиентов в год, в разные годы никогда не было меньше 67 и больше 87 клиентов (на рис. 6.14 по вертикали — достоверность значения, отложенного по горизонтали).

Рис. 6.14. Распределение потенциальных клиентов.

2. Если предполагается 30% потенциальных клиентов, совершающих сделки, на самом деле это значение изменяется в пределах 25—35%, но никогда не было меньше 10% и никогда не было больше 50% (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Распределение клиентов, совершающих сделки клиенты, %.

3. Если стоимость недвижимости 142 800 долл., то фактически стоимость различных сделок распределена следующим образом: чаще всего происходят сделки по цене 138 000—140 000 долл., но никогда нс дешевле 130 000 долл, и нс дороже 150 000 долл. (рис. 6.16).

Излом графика в зоне 150 000 долл, и уход в точку, соответствующую 160 000 долл., обусловлены тем, что менеджер подразумевает, что в следующем году фирма попробует проводить сделки с более дорогой недвижимостью, но не свыше 160 000 долл. В противном случае точки перелома не было бы вообще, а график упирался бы в точку, соответствующую цене 150 000 долл.

Рис. 6.16. Распределение фактической стоимости объектов.

4. Когда комиссионные составляют 5,5%, то на самом деле в разных случаях размер комиссионных чаще всего лежит в пределах 5—6%, но не меньше 4 и нс больше 7% (рис. 6.17).

Рис. 6.17. Распределение комиссионных.

Теперь, построив четыре нечетких утверждения и перемножив их значения (определение прибыли), можно получить ответ (рис. 6.18).

Рис. 6.18. Распределение прибыли.

Таким образом, наиболее достоверное значение прибыли будет находиться в пределах 150 000—200 000 долл. Причем на графике можно видеть границы: нс менее 30 000 и не более 600 000 долл.

Итак, получен ответ с погрешностью в 5000 долл, в пределах наиболее достоверных значений.

• [1] Заде Л. Указ. соч.
• [2] URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/87/87/lecture/20 515?page=l.
• [3] Baldwin J. Fuzzy logic and fuzzy reasoning // Mamdani E., Gaines B. Fuzzy reasoning andits applications. London: Academic Press, 1981. C. 132—141.