Кинематический анализ плоских расчетных схем

Необходимое условие геометрической неизменяемости. Рассмотрим плоскую расчетную схему, состоящую из Д дисков. Каждый диск, взятый отдельно, имеет на плоскости три степени свободы (см. рис. 1.1, б). Пока диски не соединены между собой, совокупная степень их свободы будет равна ЗД. Простой шарнир, соединяющий два диска, уничтожает две степени свободы. Если в расчетной схеме имеются диски, представляющие собой замкнутые неразрывные образования (замкнутые контуры), то жесткое соединение концов каждого из таких дисков уничтожает по три степени свободы. Кроме того, по одной степени свободы уничтожает каждая связь первого рода.

Тогда степень свободы (W) анализируемой расчетной схемы будет.

где Д — число дисков; Ш — число простых шарниров, соединяющих диски; Ж — число жестких соединений замкнутых дисков; С_оп — число опорных связей.

Если в расчетной схеме отсутствуют замкнутые неразрывные образования, формула (1.1) принимает вид.

Если для данной расчетной схемы W> 0, система изменяема; если W = О, система неизменяема; если W < 0, система неизменяема, но имеет избыточные связи, нс требуемые для обеспечения геометрической неизменяемости.

Таким образом, для обеспечения геометрической неизменяемости необходимо выполнение условия.

При анализе плоских ферм удобнее использовать более простые зависимости.

Обозначим число узлов плоской фермы через У, число собственных стержней фермы через С_ф, число опорных стержней через С_оп. Каждый узел фермы можно рассматривать как точку, которая в свободном состоянии на плоскости имеет две степени свободы. Таким образом, степень необъединенных между собой узлов будет ЗУ. При соединении двух узлов стержнем суммарная степень свободы уменьшается на единицу. Следовательно, стержень фермы можно рассматривать как простую линейную связь. Полное число связей фермы, ограничивающих степень свободы се узлов, будет равно С_ф + С₀₁₁. Тогда степень свободы плоской фермы может быть определена как.

а необходимое условие геометрической неизменяемости примет вид.

Соблюдение условий (1.3) или (1.4), а для ферм — (1.6), совершенно необходимо, но недостаточно, так как указанные соотношения устанавливают необходимые соотношения между числом связей и числом дисков, но не показывают, как же соединены диски между собой. Достаточность указанных условий должна быть дополнена анализом геометрической структуры расчетной схемы.

Анализ геометрической структуры. Анализ геометрической структуры расчетной схемы базируется на правилах соединения дисков в единое жесткое целое.

Первое правило, соединение двух дисков — «диада»: для соединения двух дисков в одно неизменяемое жесткое целое необходимо и достаточно трех связей первого рода при условии, что оси этих связей не параллельны и не сходятся в одной точке.

Примеры такого соединения показаны на рис. 1.15, а и б. В первом случае соединение образовано тремя линейными связями, во втором случае — одним простым шарниром и одной линейной связью.

Недопустимость соединения двух дисков тремя параллельными линейными связями показана на рис. 1.15, в. В этом случае происходит взаимное смещение дисков в направлении, перпендикулярном осям связей, т. е. соединение является геометрически изменяемым.

Если оси связей сходятся в одной точке (рис. 1.15, г), последняя является центром взаимного поворота дисков на бесконечно малый угол, т. е. по определению соединение является мгновенно изменяемым.

В соединении, показанном на рис. 1.15, д, являющемся также мгновенно изменяемым, центром вращения диска Д_х является шарнир III, в который приходит ось связи С (три связи диска Д_{ сходятся в одной точке).

Следствие. Для прикрепления диска к основанию необходимо и достаточно трех связей первого рода при условии, что оси этих связей не параллельны и не сходятся в одной точке.

Справедливость данного утверждения очевидна, так как основание сооружения можно представить как жесткий диск бесконечно большого размера.

Примеры такого прикрепления показаны на рис. 1.16, я и б. В первом случае прикрепление диска осуществлено тремя линейными связями, во втором случае — одним простым шарниром и одной линейной связью. Наиболее простым примером расчетной схемы в этом случае может являться простая однопролетная балка (рис. 1.16, в).

Рис. 1.16.

Недопустимость присоединения диска к основанию тремя параллельными линейными связями показана на рис. 1.16, г (аналог рис. 1.15, в). В этом случае происходит смещение диска Д_х в направлении, перпендикулярном осям связей, т. е. расчетная схема является геометрически изменяемой. В случае, когда оси связей сходятся в одной точке (рис. 1.16, д), последняя является центром поворота диска на бесконечно малый угол, т. е. расчетная схема является мгновенно изменяемой. В закреплении, показанном на рис. 1.16, е, расчетная схема также является мгновенно изменяемой, центром вращения диска Д является шарнир Ш, в который приходит ось связи С (три связи диска Д сходятся в одной точке).

Второе правило — соединение трех дисков — «триада»: для соединения трех дисков в одно неизменяемое жесткое целое необходимо и достаточно трех шарниров (действительных или фиктивных), расположенных по одному между каждой парой дисков, при условии, что центры этих шарниров не лежат на одной прямой.

Примеры такого соединения показаны на рис. 1.17: соединение дисков тремя действительными шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 1.17, а); тремя фиктивными шарнирами Ш, Ш₂, Ш₃ (рис. 1.17, в); двумя действительными шарнирами III _t, Ш₂ и одним фиктивным Ш₃ (рис. 1.17, г). Наиболее ясным и простым примером «триады» является шарнирный треугольник (рис. 1.17, б).

Недопустимость соединения трех дисков способами, не удовлетворяющими правилу «триады», приводящая к мгновенной изменяемости соединений, показана на рис. 1.17, д и е. В первом случае расположение трех шарниров на одной прямой приводит к бесконечно малому смещению центрального шарнира; во втором случае шарнир Ш является центром бесконечно малого взаимного поворота соединяемых дисков.

Рис. 1.17.

Следствие. Для прикрепления двух дисков к основанию необходимо и достаточно трех шарниров (действительных или фиктивных), один из которых соединяет диски, а два других являются опорными для каждого из дисков, при условии, что центры этих шарниров не лежат на одной прямой.

На рис. 1.18, а показано прикрепление двух дисков тремя действительными шарнирами, не лежащими на одной прямой. Наиболее простыми и ясными примерами такого прикрепления являются расчетные схемы трехшарнирной арки (рис. 1.18, 6) и трехшарнирной рамы (рис. 1.18, в). На рис. 1.18, г показан пример прикрепления тремя фиктивными шарнирами LLlj, Ш₂, Ш₃, два из которых находятся в пределах соединения, а третий удален в бесконечность.

Недопустимость прикрепления двух дисков к основанию способами, не удовлетворяющими описанному выше правилу, приводящая к мгновенной изменяемости соединений, показана на рис. 1.18, д и е.

Рис. 1.18.

Рассмотрим несколько примеров, но анализу геометрических структур плоских расчетных схем.

Пример 1.1.

Произвести анализ геометрической неизменяемости балки, изображенной на рис. 1.19, а.

Рис. 1.19.

Решение. Расчетная схема балки составлена из трех дисков, имеет пять опорных связей и два шарнира (Д = 3, С₀п = 5, Ш = 2 по рис. 1.19, 6).

На основании условия (1.4) степень свободы расчетной схемы W= 3 3 — 2 2 — -5 = 0, т. е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.

Анализируя поочередно каждый диск схемы, устанавливаем:

• — диск Д1 имеет четыре связи с основанием вместо трех необходимых и по условию расположения связей является неподвижным;
• — в соединении дисков Д₂ и Д₃ три шарнира расположены на одной прямой в точках Д Е и F, что приводит к мгновенной изменяемости этих дисков (рис. 1.19, в).

Таким образом, несмотря на выполнение необходимого условия (1.4), расчетная схема существовать не может.

Для того чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема, достаточно перенести одну из вертикальных связей диска Д, например, из точки В, и закрепить диск Д₂ (точка К на рис. 1.19, г).

Пример 1.2.

Произвести анализ геометрической неизменяемости фермы, изображенной на рис. 1.20, а.

Рис. 1.20.

Решение. Расчетная схема фермы составлена из десяти стержней (Д = С_ф = 10), имеет четыре опорных связи (С_оп = 4), стержни соединены 13 простыми шарнирами (Ш = 13 по рис. 1.20, б).

На основании условия (1.3) степень свободы расчетной схемы W =3* 10 — 2- 13 — -4 = 0, т. е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.

Анализируя образование расчетной схемы, устанавливаем:

• — стержни фермы между узлами Л, В, D и Fсоединены последовательным образованием двух «триад» — это соединение можно считать одним жестким диском Д] (рис. 1.20, в);
• — стержни фермы между узлами К, Е и С также образуют «триаду» (диск Д₂ на рис. 1.20, в);
• — диск Д! прикреплен к основанию в точках Л и F (см. рис. 1.20, в) тремя непараллельными и не сходящимися в одной точке связями, следовательно, является геометрически неизменяемым;
• — диск Д₂ (см. рис. 1.20, в) также прикреплен тремя связями — двумя (стержни C_t и С₂) к неподвижному диску Д j и одной опорной связью в точке С —к основанию;
• — оси указанных связей диска Д₂ сходятся в одной точке С, являющейся центром вращения для этого диска (рис. 1.20, г).

Следовательно, диск Д₂ является мгновенно изменяемым, и расчетная схема, несмотря на выполнение условия (1.4), существовать не может.

Для того чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема, достаточно заменить одну из вертикальных связей диска Д_1? например точки F, и поставить дополнительный стержень фермы С между узлами D и К (рис. 1.20, д).

Пример 1.3.

Произвести анализ геометрической неизменяемости рамы, изображенной на рис. 1.21, а.

Рис. 1.21.

Решение. Расчетная схема рамы составлена из трех дисков (Д = 3), два из которых (Д₂ и Д₃) соединены между собой жестко (Ж = 1 по рис. 1.21, б), имеет четыре опорных связи (С_оп = 4), диски соединены тремя простыми шарнирами (III = 3). На основании условия (1.3) степень свободы расчетной схемы W= 3 • 3 — 2 • 3 — 3 • 1−4 =-1 т. е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется, и расчетная схема имеет одну избыточную связь.

Анализируя образование расчетной схемы, устанавливаем:

• — диск Д j присоединен к основанию тремя связями (защемление) и является геометрически неизменяемым (неподвижным);
• — диски Д₂ и Д₃ образуют геометрически неизменяемое соединение, которое можно считать одним жестким диском Д;
• — диск Д прикреплен двумя связями в точке А (рис. 1.21, в) к неподвижному диску Д! и одной связью в точке С к основанию;
• — оси указанных связей диска Д сходятся в точке А, являющейся центром вращения этого диска (рис. 1.21, г).

Следовательно, диск Д является мгновенно изменяемым, и расчетная схема, несмотря на выполнение условия (1.3), существовать не может. Чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема, достаточно повернуть опорную связь в точке С на 90° (рис. 1.21, Э).