Трехшарнирные арки и рамы

Трехшарнирные системы (см. рис. 1.18, а и б) состоят из двух дисков, соединенных между собой одним шарниром и двумя шарнирами с основанием. Если диски представляют собой стержни с криволинейной осью, то система называется трехшарнирной аркой (рис. 3.12, а). Если дисками являются прямолинейные стержни или стержни с осью ломаного очертания, то расчетная схема носит название трехшарнирной рамы (рис. 3.12, б).

Отличительной особенностью трехшарнирной системы является то, что в обеих ее опорах при любой нагрузке возникают две опорные реакции — вертикальная и горизонтальная (рис. 3.12, б, г). При действии только вертикальной нагрузки горизонтальные реакции в обеих опорах будут равны и направлены в противоположные стороны (на основании уравнения равновесия XX = 0). Горизонтальные реакции в этом случае называются распором. Поэтому трехшарнирные системы часто называют распорными. Распор при действии вертикальной нагрузки, направленной вниз, всегда направлен внутрь трехшарнирной арки или рамы.

Рис. 3.12.

Арочные системы на протяжении многих веков были одной из основных архитектурно-строительных форм при возведении мостов, акведуков, перекрытий дворцов и соборов.

Элементами арки являются (см. рис. 3.12, а):

• • I — пролет арки (расстояние между опорами);
• • / — стрела подъема арки (расстояние от шарнира С до линии, соединяющей опорные точки арки);
• • пята — опора арки;
• • ключ (замок) — наиболее высокая точка арки, обычно шарнир;
• • левая и правая полуарки — криволинейные стержни арки.

Основной геометрической характеристикой арки является отношение стрелы подъема арки / к пролету арки I. Это отношение колеблется в очень широких пределах: // / = ½^-1/20. В зависимости от этого отношения арки делятся на пологие: f / I = 1/5-Н/20, нормальные: // I = 1/3-П/5 и подъемистые: f / / > 1/3.

Оси арок могут быть очерчены, но окружности (рис. 3.13, а), параболе (рис. 3.13, б), эллипсу (рис. 3.13, в), коробовой кривой (состоящей из дуг окружностей разных радиусов).

Арки, очерченные по половине окружности (см. рис. 3.13, а), называют полуциркульными. При значительном подъеме средней части, характерном для готического стиля, получается стрельчатая арка (рис. 3.13, д).

Рис. 3.13.

Опоры арок обычно располагают на одном уровне. Если же опоры расположены на разной высоте, что на практике встречается редко, то арка называется ползучей.

При невозможности передачи распора трехшарнирной системы на основание применяют статически эквивалентную расчетную схему — трехшарнирную арку или раму с затяжкой, которой и воспринимается распор. Затяжки могут быть прямолинейными и расположенными в одном уровне с опорами (рис. 3.14, а) или выше их (рис. 3.14, б), а также ломаного очертания, поддерживаемые подвесками — повышенными (рис. 3.14, в) или пониженными (рис. 3.14, г).

Рис. 3.14.

Определение реакций в связях трехшарнирных систем производят графическим и аналитическим способами.

Графический способ. Принципы применения графического способа определения реакций в связях трехшарнирной системы покажем на примере арки (рис. 3.15, а), загруженной в общем случае произвольной нагрузкой.

Предположим, что все действующие нагрузки на левой и правой полуарках приведены к силам Е^ЛЕВ и Г^ПРАВ. В пятах арки при удалении связей должны быть показаны горизонтальные и вертикальные реакции, которые по правилу параллелограмма могут быть приведены к наклонным реакциям R_a и R_B (рис. 3.15, б).

Рис. 3.15.

Воспользуемся принципом независимости действия сил и определим реакции в связях арки по отдельности от каждой силы (рис. 3.15, в и г).

При действии только одной из сил, например Д^ЛЕВ (см. рис. 3.15, в), правая опорная реакция Д$^ЕВ должна быть направлена, но линии СВ и проходить через шарнир С. В противном случае момент правых сил относительно шарнира С не будет равен нулю [см. (3.4)].

По условиям равновесия линии действия трех сил (F^{, 1EB}, /?^ЛЕВ, Д^ЛЕВ) должны пересекаться в одной точке, поэтому, продолжив прямую СВ до линии действия F^aEB и соединив полученную точку пересечения с левой пятой арки, найдем направление линии действия опорной реакции Й^ЛЕВ.

Величины реакций /?^ЛЕВ, /^_;^|ЕВ при загружении левой полуарки силой F^JIEB определяются из построения силового треугольника (верхняя часть силового многоугольника по рис. 3.15, д).

Аналогично находят реакции при загружении правой полуарки силой /гпрлб _и получают треугольник сил с определенными реакциями Rl^|мв (нижняя часть силового многоугольника по рис. 3.15, д).

Далее в силовом многоугольнике (см. рис. 3.15, д) на силах Й$^ЕВ и R_A ^1>лв строится параллелограмм сил, и складываются сила Д^^ЕВ с силой Д^|₁^П>ЛВ, сила Д^ЛЕВ с силой Д^в,‘^лв. Результатом сложения на основании принципа независимости действия сил будут полные реакции арки R_A и R_B.

Разложив найденные значения полных реакций в пятах арки на вертикаль и горизонталь, получим значения горизонтальных реакций Н_А, Н_в и вертикальных реакций V_A, V_B.

Аналитический способ. При аналитическом определении опорных реакций в трехшарнирных системах используются, в зависимости от условий задачи, уравнения равновесия (2.11), (2.18)—(2.20) и (2.28), (2.29), приведенные в табл. 3.1, и дополнительная форма уравнения равновесия (3.4).

Порядок составления уравнений равновесия в трехшарнирных системах при определении опорных реакций может быть различен в зависимости от уровня расположения опор и направления действующей нагрузки.

Рис. 3.16.

1. Трехшарнирная система с опорами на одном уровне при действии произвольной нагрузки (рис. 3.16, а).

Рекомендуемый порядок составления уравнений равновесия для определения опорных реакций будет следующим:

2. Трехшариирная система с опорами на одном уровне при действии вертикальной нагрузки (рис. 3.16, б).

Порядок определения опорных реакций упрощается, так как Н_А = = Н_В = Н.

3. Трехшарнирная система с опорами на разных уровнях при действии произвольной нагрузки (рис. 3.17, а).

При общепринятых направлениях опорных реакций в пятах трехшарнирной системы (по вертикали и горизонтали) не удается составить такие уравнения равновесия, чтобы в каждое из них входило лишь по одному неизвестному. Поэтому для их определения приходится решать системы алгебраических уравнений.

Рис. 3.17.

4. Трехшарнирная система с опорами на разных уровнях при действии вертикальной нагрузки (рис. 3.17, б).

Порядок определения опорных реакций упрощается, так как Н_А— Н_в— = Н, и необходимо решить лишь одну из следующих систем алгебраических уравнений:

Вторая вертикальная реакция определяется из дополнительного уравнения равновесия? Л/(?^ЕВ = 0 (либо ?М?^РАВ = 0).

Проверки: YjY = 0 и любое из неиспользованных уравнений равновесия.

Примечание. При действии вертикальной нагрузки необходимость решения системы алгебраических уравнений можно исключить, если реакции в опорных связях направить, как показано на рис. 3.17, е. В этом случае порядок определения опорных реакций ничем не будет отличаться от их определения в трехшарнирной системе с опорами на одном уровне [см. формулы (3.9)]. Переход к общепринятым направлениям опорных реакций можно осуществить по зависимостям:

где, а — угол наклона прямой, соединяющей опоры Л и В, к горизонту.

5. Трехшарнирная арка с затяжкой и подвесками (рис. 3.18, а).

Рис. 3.18.

Вертикальные опорные реакции в такой арке определяются как в простой трехшарнирной системе с опорами на одном уровне [см. формулы (3.8)].

Стержни, затяжки и подвески рассматриваются как линейные связи. Тогда реакция (усилие) N_3AT в горизонтальном стержне затяжки (рис. 3.18, б) может быть определена аналогично определению распора из уравнения.

Вырезая узел D (рис. 3.18, в) и составляя уравнения равновесия для сходящихся сил (2.10) N_u N₂ и iV_:iAT, получим усилия в элементах 1 и 2:

Если необходимо определить реакции в ключе трехшарнирной системы, то после определения опорных реакций по уравнениям (3.8)—(3.12) достаточно удалить связи в шарнире и рассмотреть равновесие любой части расчетной схемы, левой или правой.

Рассмотрим примеры определения реакций в связях трехшарнирных арок и рам.

Пример 3.8.

Требуется определить реакции в связях трехшарнириой арки (рис. 3.19), загруженной вертикальной нагрузкой.

Решение. В трехшарнирной арке с опорами на одном уровне левая полуарка загружена треугольной распределенной нагрузкой, правая — сосредоточенной силой (рис. 3.19, а).

Удалив связи в пятах арки, заменим их действие вертикальными реакциями и распором. Треугольную распределенную нагрузку на левой полуарке приведем к равнодействующей.

Для определения реакций в связях используем порядок расчета (3.9):

(см. штриховую линию на рис. 3.19, б).

Рис. 3.19.

Результат определения опорных реакций в арке приведен на рис. 3.19, в. Проверка:

• ?У = 0; 66 + 39−45−60 = 105−105 = 0;
• 1Л/лев _{= 0; 39−9-48−4,5−45−3 = 351−351 = 0}
• (см. штриховую линию на рис. 3.19, в).

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции определены верно. Для определения реакций в ключе арки (рис. 3.19, г) после удаления связей удобно рассмотреть равновесие правой полуарки. Из уравнений равновесия Y.X = 0 и Ху = = 0 находим, что С_х = Н = 48 кН, С" = 6 кН.

Пример 3.9.

Требуется определить реакции в связях трехшарнирной рамы с опорами, расположенных в разных уровнях (рис. 3.20, а).

Рис. 3.20.

Решение. Удалив связи в пятах арки, заменим их действие вертикальными и горизонтальными реакциями. Равномерно распределенную нагрузку на правую часть рамы приведем к равнодействующей (рис. 3.20, б).

Для определения реакций в связях используем порядок расчета (3.10):

Решив эти уравнения совместно как систему алгебраических уравнений, найдем V_B= 18кН, Я_в=20 кН.

Решив эти уравнения совместно как систему алгебраических уравнений, найдем V_A = 6 кН, Я_л = -4 кН.

Реализации уравнений ^Л/^^РЛВ = 0 и? М ЕВ=0 показаны штриховыми линиями соответственно справа и слева на рис. 3.20, б. Результат определения опорных реакций в арке приведен на рис. 3.20, в.

Проверки:

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции определены верно.

Для определения реакций в ключе С (рис. 3.20, г) после удаления связей удобно рассмотреть равновесие правой части рамы. Из уравнений равновесия Хх = 0 и XК= = 0 находим, что С_х = 20 кН, С_ц = 2 кН.

Пример 3.10.

Требуется определить реакции в связях трехшарнирной арки с повышенной затяжкой ломаного очертания (рис. 3.21).

Решение. Арка с повышенной затяжкой ломаного очертания и подвесками загружена на левой полуарке равномерно распределенной нагрузкой (рис. 3.21, а), которая для расчета приведена к равнодействующей (рис. 3.21, б).

Рис. 3.21.

Так как распор в арке воспринимается затяжкой, вертикальные опорные реакции в опорах А и В определяются как в простой балке (см. рис. 3.21, б):

Определение усилия в горизонтальном элементе затяжки производим из уравнения.

Усилия в подвеске 1 и наклонной части затяжки определяем из равновесия узла D (рис. 3.21, в):

Силы, действующие на стержни арки, показаны на рис. 3.21, г.