Идея метода сил. 
Система канонических уравнений

Метод сил широко применяется для расчета разнообразных плоских и пространственных систем и является основанием для многих приближенных методов.

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчетную схему — неразрезную трехпролетную балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис. 13.6, а). Данная расчетная схема является дважды статически неопределимой.

Рис. 13.6.

Удалим опорные связи в точках А и В и заменим их действие неизвестными реакциями Х_х и Х₂ (рис. 13.6, б). Полученная таким образом расчетная схема является статически определимой, так удалены две избыточные связи (по степени статической неопределимости). Ее называют основной системой метода сил.

Для полученной основной системы воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: состояние 1 от действия силы Х_{ (рис. 13.6, в); состояние 2 от действия силы Х₂ (рис. 13.6, г) и состояние Еот действия внешней нагрузки (рис. 13.6, д).

Во всех перечисленных состояниях точки А и В вследствие деформаций основной системы получат перемещения по направлению удаленных связей, сумма которых по каждому из указанных направлений даст полные перемещения.

Чтобы основная система соответствовала по своим деформациям заданной расчетной схеме, очевидно, необходимо выполнения условий.

или Для выражения перемещений, входящих в (13.5), воспользуемся зависимостью (12.1) и запишем.

Подставив эти выражения в (13.5), получим.

Уравнения (13.6) называются системой канонических уравнений метода сил.

Как и уравнения (13.5), система канонических уравнений имеет следующий геометрический смысл: сумма перемещений по направлению удаленных связей от действия реакций в этих связях и внешнего воздействия равна пулю.

Приведенный вывод системы канонических уравнений справедлив для любой расчетной схемы с любой степенью статической неопределимости. Поэтому если степень статической неопределимости п_с = п, то система канонических уравнений будет иметь вид.

8_ИД, + 5"2*₂ ±+ b"jXj +…+ 8"Д" + А_и/. = 0.

В системе канонических уравнений (13.7) коэффициенты при неизвестных с одинаковыми индексами называются главными коэффициентами податливости, и они всегда положительны (5″ > 0). Остальные коэффициенты называются побочными, и для них выполняется теорема о взаимности возможных перемещений 5_ik = S_ki.

Любой коэффициент системы канонических уравнений 5_jk> согласно (12.18), есть возможное перемещение по направлению удаленной связи i от действия единичной безразмерной силы, приложенной по направлению удаленной связи k.

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы канонических уравнений легко определяются на основании их геометрического смысла, сформулированного выше.

Так, для неразрезной балки, использованной при выводе системы канонических уравнений (см. рис. 13,6, а), неизвестными метода сил являются сосредоточенные силы (единицы измерения — килоньютоны, кН), перемещения по направлению этих сил будут линейными (единицы измерения — метры, м). Следовательно, свободные члены системы уравнений, являющиеся перемещениями в статически определимой основной системе, будут измеряться в метрах, а все коэффициенты при неизвестных — в метрах на килоньютон.

Если бы для той же балки была выбрана другая основная система (рис. 13.7), в которой удалена одна линейная связь, а вторая — угловая, то, рассуждая аналогично, получим нижеследующее.

Рис. 13.7.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма линейных перемещений, измеряемых в метрах. Так как Х_х измеряется в килопыотопах, аХ₂-в килоньютонах на метр, то единицами измерения коэффициентов при неизвестных первого уравнения будут: для 8_И — м/кН, для 8₁₂ — м/ кН м, а для свободного члена А_[Р — м.

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неизвестного сумму угловых перемещений, измеряемых в радианах (рад). Значит, для второго уравнения единицами измерения коэффициентов при неизвестных будут: для 6₂₁ — радианы на килоньютон (рад/кН), для S₂₂ — радианы на килоньютон, умноженные на метры рад/кН-м, а для Д₂р — радианы (рад).

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений определяются как перемещения в статически определимых системах в зависимости от типа расчетной схемы по формулам (12.23), (12.24) или (12.25).

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы канонических уравнений в основной системе метода сил необходимо определить усилия от единичных сил, последовательно прикладываемых по направлению удаленных связей (по направлению неизвестных), т. е. построить эпюры усилий Mf — при расчете балок и рам, Nf — при расчете ферм и Mf, Nf — при расчете комбинированных систем (при i = 1, …, п = п_с), а также построить, соответственно, эпюры усилий от действующих нагрузок — М{?, Np.

Примечание. Здесь и далее верхним индексом «О» будем обозначать эпюры усилий в основной системе.

В силу равенства S_ifi = 8_kj матрица коэффициентов при неизвестных получается симметричной, является положительно определенной, и ее определитель не равен нулю. Поэтому система уравнений для каждого варианта загружения имеет одно-единственное решение, которое по правилу Крамера можно получить как.

где Xj — искомое неизвестное; D — определитель матрицы коэффициентов при неизвестных; |Д-| — тот же определитель, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов.

После определения неизвестных Х_{ задачу можно считать решенной. Используя эпюры усилий единичных сил, приложенных в основной системе, на стадии получения системы канонических уравнений в численном виде на основании принципа независимости действия сил можно определить усилия в заданной расчетной схеме как сумму усилий от X, и внешней нагрузки:

• для балок и рам.

• для ферм.

• для комбинированных систем.