Устойчивость центрально сжатых прямолинейных стержней

Постановка задач устойчивости прямолинейных стержней зависит от степени свободы рассматриваемой расчетной схемы. В данном случае под степенью свободы будем понимать число независимых параметров W, полностью определяющих возможные перемещения всех точек расчетной схемы.

Устойчивость стержней очень большой жесткости (когда для упрощения расчета можно считать Е1 —> оо) определяется податливостью опорных связей. Например, для стойки с упругой опорой, изображенной на рис. 16.3,.

а, степень свободы W= 1, так как ее положение определяется одним параметром — углом поворота, а вокруг нижней неподвижной опоры. Для стойки из трех звеньев (рис. 16.3, б) степень свободы W = 2, так как положение всех трех звеньев может быть определено при помощи двух параметров — линейных перемещений шарниров А и В.

Рис. 163.

Степень свободы реальных упругих систем W = оо (рис. 16.3, в), так как чтобы полностью определить деформированную схему такой системы, необходимо знать перемещения всех точек.

Для расчетных схем, состоящих из стержней большой жесткости, критическую нагрузку находят, составляя уравнения равновесия для предполагаемой формы потери устойчивости.

Покажем это на конкретных примерах.

Пример 16.1.

Требуется определить критическую силу для абсолютно жесткой стойки, показанной на рис. 16.4, а и имеющей одну упругоподатливую опору (пружину) с коэффициентом жесткости г.

Рис. 16.4.

а б в

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости. Стойка имеет одну степень свободы, так как ее положение определяется возможным поворотом вокруг шарнирно неподвижной опоры А. Зададим этот поворот (рис. 16.4, 6) и обозначим величину смещения точки приложения сжимающей силы — б.

• 2. Рассмотрим равновесное состояние полученной формы потери устойчивости (рис. 16.4, в), в котором реакция упругоподатливой опоры R = гЬ.
• 3. Для данного равновесного состояния составим уравнение равновесия так, чтобы в него входили известные величины и сила F_cr Таким уравнением является

Хм_л = 0; -F_cr • 5 + R • / = -F_cr • 5 + гб • / = 0, откуда F_cr = г/.

Пример 16.2.

Требуется определить критическую силу и форму потери устойчивости для стойки (рис. 16.5, а), состоящей из трех абсолютно жестких звеньев и имеющей две упругоподатливых опоры (пружины) с одинаковыми коэффициентами жесткости г. Стойка имеет горизонтальную ось симметрии, проходящую через центр звена CD.

Рис. 16.5.

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости. Стойка имеет две степени свободы, так как ее положение определяется возможными поворотами звеньев АС и DB вокруг опор А и В соответственно. Зададим эти повороты (рис. 16.5, б) и обозначим величины смещений упругоподатливых опор через 5, и б₂.

2. Рассмотрим равновесное состояние выбранной возможной формы потери устойчивости (рис. 16.5, в), в котором реакции упругоподатливых опор будут R_{ = гб, и R₂ = гЪ₂.

3. Для определения критической силы составим следующие уравнения равновесия:

Реакцию Н_в выразим через значения R_{ и R₂ из уравнения равновесия:

Подставим Н_в в уравнения (а) и (б) и после несложной группировки величин относительно заданных перемещений 5, и 6₂ получим.

Данная система уравнений является однородной и может иметь нулевое решение при б] = б₂ = 0, что соответствует первоначальному равновесному состоянию (см. рис. 16.5, а). Ненулевое решение она будет иметь, если нулю будет равен определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных 8, и б₂:

Раскрывая определитель, получим (0,4/7)² — (2F_cr — 0,6 /7)² = 0,.

откуда найдем два значения критической силы: 4° =0,1/7 и F™ = 0,5/7.

4. Формы потери устойчивости для каждой полученной критической силы определим, подставив их значения в одно из уравнений системы (в).

При F^.p = 0,1/7 имеем: -0,4/7 • б, + (0,2/7 — 0,6 гГ)б₂ = 0, откуда 8, = -б₂.

При F" = 0,5rl имеем: -0,4/7 • б[ + (/7 — 0,6 г/)б₂ = 0, откуда б] = б₂.

Формы потери устойчивости, соответствующие полученным значениям критических сил, показаны на рис. 16.5, г, Э, г. е. для рассматриваемой симметричной расчетной схемы мы получили две формы потери устойчивости: симметричную и кососимметричную, причем наиболее опасной является кососимметричная форма, для которой значение критической силы меньше.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: в расчетных схемах, где центральному сжатию подвергаются абсолютно жесткие стержни, порядок системы уравнений, составленных для определения критических сил, равен числу степеней свободы.

При решении задач с бесконечным числом степеней свободы, интегрируя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня после потери устойчивости, получаем бесконечное множество возможных форм потери устойчивости и соответствующих им критических сил, из совокупности которых для практических целей необходимо знать минимальную.

В литературе данный метод использования статического критерия обычно называют методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. Давая совокупность решений, данный метод при принятых допущениях является точным способом расчета на устойчивость. Его преимуществом является наиболее четкое выявление физической сущности рассматриваемого явления, недостатком — громоздкость получаемых уравнений при исследовании расчетных схем, состоящих из нескольких стержней.

Рассмотрим применение метода непосредственного интегрирования на классической задаче Л. Эйлера — потере устойчивости шарнирно опертого стержня (рис. 16.6, а). Зададим наиболее простую возможную форму потери устойчивости (рис. 16.6, б) и рассмотрим ее равновесное состояние (рис. 16.6, в). Из уравнений равновесия легко показать, что в данной форме равновесия горизонтальные опорные реакции в точках А и В равны нулю. Рассмотрим произвольное сечение стержня с координатами х и у, для которого из равновесия верхней части стержня (рис. 16.6, г) легко определить выражение для изгибающего момента:

Подставив полученное выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение (10.19), получим.

Введя обозначение а² = F_cr / EI, представим дифференциальное уравнение в канонической форме:

Решение полученного однородного дифференциального уравнения известно из курса математики и имеет вид:

Произвольные постоянные С_х и С₂ найдем из граничных условий сжатоизогнутой стойки (см. рис. 16.6, в):

• — при х = 0 у = 0, следовательно, С_х = 0;
• — при х = I у = 0, следовательно, С₂ sina/ = 0.

Соблюдение условия С₂ sina/ = 0 возможно в двух случаях:

• — если С₂ = 0, то у (х) всегда равно нулю, следовательно, стержень остается прямым, что соответствует состоянию до потери устойчивости;
• — если sinaI = 0, то а/ = 0, я, 2л, Зл,…, пп.

Таким образом, выражение sina/ = 0 является уравнением устойчивости для рассматриваемого стержня, из которого можно определить критический параметр¹ a = yjF_cr / EI.

Для дальнейших записей расчетных формул введем выражение для критического параметра в виде.

¹ Здесь и далее под термином «критический параметр» будем понимать любую величину, содержащую значение F_cr

Рис. 16.6.

откуда.

Из полученных решений уравнения устойчивости нас не интересует решение v = а/ = 0, так как оно соответствует F_cr = 0; из остальных решений нас интересует только то, которое дает минимальное значение критической силы, т. е. v_min = al = л. При данном значении критического параметра получаем.

Наименьшее значение критической силы (16.3) для шарнирно опертого стержня принято называть эйлеровой критической силой.

В практике применяются стойки с различными условиями закрепления. Решения для них находятся аналогично вышеизложенному. Значения критических сил и уравнения устойчивости для стержней с различными условиями закрепления концов приведены в табл. 16.1.

Как видно из табл. 16.1, чем жестче закреплен стержень, тем большую нагрузку до потери устойчивости он может выдержать.

Таблица 16.1

Значения критических параметров для центрально сжатых стержней.

Сопоставим (16.2) и (16.3) и приведем (16.2) к эйлеров}' виду (16.3), для чего выполним следующие преобразования:

Таким образом, формулу (16.2) можно представить в виде.

где /₀ — приведенная или расчетная длина сжатого стержня. Понятие приведенной длины впервые было предложено Ф. С. Ясинским (1856—1899):

Согласно СП и СНиП эта величина, а не критическая сила, лежит в основе практических методов расчета сжатых и сжато-изогнутых стержней элементов конструкций.

Коэффициент р = я / v, входящий в формулу (16.5), называют коэффициентом приведения длины центрально сжатого стержня.

Длину /₀ можно трактовать как некоторую условную длину шарнирноопертого по концам стержня, для которого критическая сила равна критической силе для заданного загружения. Из сравнения форм потери устойчивости стержней, приведенных в табл. 16.1, расчетной длине можно дать следующую геометрическую интерпретацию: расчетная длина представляет собой длину полуволны синусоиды, содержащейся в полученной форме потери устойчивости центрально сжатого стержня.

Требуется определить критическую силу и расчетную длину центрально сжатой стойки схемы, показанной на рис. 16.7, а.

Рис. 16.7.

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости расчетной схемы (рис. 16.7, 6). В результате изгиба жесткий узел А повернется на некоторый угол р. Свободному повороту нижнего сечения стойки препятствует горизонтальный стержень ЛВ, выполняющий по отношению к стойке роль своеобразной упругой пружины. Поэтому расчетная схема стойки может быть представлена в виде вертикального стержня с упругой заделкой в нижнем сечении (рис. 16.7, в).

Для определения податливости стержня А В в направлении возможного поворота узла Л рассмотрим этот стержень отдельно (рис. 16.7, г) и построим эпюру от единичного безразмерного момента, приложенного, но направлению угла поворота. Тогда.

Жесткость круговой пружины определим как величину, обратную податливости г_и = 1 / 5ц = 6EI /1 кН м/рад.

2. По полученному для стержня равновесному состоянию (рис. 16.7, Э) определим изгибающий момент в произвольном сечении с координатами х и у:

3. Подставив полученное выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение (10.19), получим:

Введя обозначение а² = F_cr/ EI, представим дифференциальное уравнение в канонической форме:

4. Полученное уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение складывается из двух частей: у (х) = = г/₀ ⁺ Учу ^гД^е Уо ~ °бщее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; у_ч — частное решение уравнения (а), зависящее от его правой части.

Решение однородного уравнения известно из курса математики:

Так как правая часть уравнения (а) представляет собой функцию первой степени, частное решение уравнения представим в виде полинома первой степени и убедимся, что принятое решение удовлетворяет уравнению (а):

Подставим указанное частное решение в уравнение (а): 0 + а²у_ч = Rx/EI, откуда у_ч = Rx/a² EI.

Следовательно, полное решение уравнения (а) будет иметь вид.

а его производная.

• 5. Уравнение (б) кроме произвольных постоянных Cj и С₂ содержит неизвестную величину реакции R. Для их определения используем граничные условия по концам сжато-изогнутого стержня:
• 1) при х= 0 у = 0, следовательно, С_t = 0;
• 2) при х= I у = 0, следовательно, С₂ sin ос/ + RI / а²Е1 = 0;
• 3) при х = I у' = -р, следовательно, а С₂ cos а/ + R / а ²Е1 = -р.

Второе и третье условия содержат три неизвестные величины: С₂, R и р. Для уменьшения числа неизвестных воспользуемся следующим. Как видно из рис. 16.8, М в нижнем сечении стойки можно определить двояко:

• — как реакцию в упругой опоре М = pr, j = р6?7 //;
• — как изгибающий момент в сечении М = ^М%^ЕРХ = RI.

Сравнивая эти выражения, найдем р = RP/6EI.

Подставив полученное выражение для угла р в третье условие, введя обозначения критического параметра v = а/ и проведя несложные преобразования, запишем второе и третье граничные условия в виде следующих систем уравнений:

6. Полученная система однородных уравнений, как известно, имеет два решения: первое, когда неизвестные С₂ = 0 и R = 0, и нас не интересующее; второе, когда С₂ * 0 и R ф 0. Во втором случае должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных С₂ и R:

который после сокращения па P/v²EI имеет вид.

Раскрывая определитель (г), получим уравнение устойчивости относительно критического параметра v:

Решение уравнения (д) производится либо по специальным программам, либо методом подбора по таблицам специальных функций (см. нрил. 14). Для осуществления подбора полезно определить границы поиска. Для данной расчетной схемы определяющим при определении границ поиска является угол поворота р.

При потере устойчивости рассматриваемой расчетной схемы возможны два предельных состояния:

• • 3 —> 0, что соответствует четвертой схеме в табл. 16.1, где v = 4,493;
• • Р —" что соответствует второй схеме в табл. 16.1, когда v = я.

Следовательно, значение критического параметра следует искать в пределах я <

< v < 4,493. Искомая величина критического параметра v = 3,973, следовательно, величина критической силы F_c:r = 3,973²EI / Р = 15,785?Y / Р, а расчетная длина стержня согласно формуле (16.5) /₀ = (л / 3,973)/ = 0,791/.