Начальные сведения о колебаниях оболочек

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела. Для оболочек вводятся такие же допущения и гипотезы, как и для пластин. Основным отличием оболочек от пластин является наличие кривизны поверхностей оболочек. Наличие кривизны не только существенно отличает их по форме от пластин, но и делает расчет оболочек существенно сложнее. Но кривизна является и положительным эксплуатационным качеством оболочки, так как увеличивает ее жесткость, что позволяет перекрывать большие пролеты при том же расходе материала.

Любопытно отметить, что теория расчета оболочек была разработана раньше создания самих конструкций. К настоящему времени написано много монографий по теории расчета пластин и оболочек. Полное их перечисление не представляется возможным в рамках этого учебника, назовем лишь несколько фамилий наиболее известных авторов: В. В. Новожилов, В. 3. Власов, А. С. Вольмир, А. Л. Гольденвейзер, X. М. Муштари и многие другие. В заключение назовем лишь одну из последних работ В. В. Карпова^[1]. В его книгах относительно доступно приведены математические модели деформирования рассматриваемых оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей. Все методы решения задач обеспечены собственными компьютерными программами.

Кривизнами (их, как правило, две) срединной поверхности оболочек называют обратные величины радиусов кривизны поверхности оболочек, т. е.

1 1.

k_{ — — и k₂ = — В строительной практике формы поверхности оболочек классифицируют по гауссовой кривизне. Гауссова кривизна определяется как произведение кривизн оболочки, т. е.

Образцы различных гауссовых кривизн показаны на рис. 3.8.

Полный вывод дифференциальных уравнений не представляется возможным в рамках этой книги.

Рис. 3.8. Виды гауссовых кривизн:

а — положительная; б — отрицательная; в — нулевая В строительной практике часто используются пологие оболочки. Пологость оболочки обычно характеризуется отношением стрелы подъема.

/ 1.

в центре / к наименьшему ее размеру в плане (а или Ь): — < —.

а 5.

В. 3. Власов предложил следующую гипотезу о пологости оболочки: оболочка принимается настолько пологой, что геометрию ее поверхности приближенно можно считать совпадающей с геометрией плоскости ее проекции. В этом случае коэффициенты первой квадратичной формы можно принять равными единице.

Для пологих оболочек получаются два совместных уравнения в смешанной форме (типа смешанного метода, применяемого при расчете стержневых систем). Вывод первого уравнения аналогичен выводу, выполненному в параграфе 3.5 для пластинок, но появляется еще один член, учитывающий плоское напряженное состояние оболочки, т. е.

где Как и в пластинах, это уравнение является уравнением равновесия.

В уравнении ср — функция напряжений, вводимая при решении плоской задачи теории упругости через напряжения:

Далее напряжения заменяются усилиями:

N_x — продольная сила вдоль оси х;

N_y — продольная сила вдоль оси у

S — сдвигающая сила.

Для получения второго основного уравнения теории пологих оболочек необходимо составить уравнение совместности деформаций. После ряда преобразований, в процессе которых в выражениях относительных деформаций в срединной плоскости перемещения заменяются усилиями, а те, в свою очередь, записываются через функцию напряжений, в итоге получается следующее уравнение:

Далее эти уравнения записываются для решения задач динамики. Так как жесткость пластин и оболочек в срединной плоскости намного больше жесткости нормали к срединной поверхности, то инерционные члены учитываются только, но направлению нормали к срединной поверхности. Окончательно уравнения имеют вид.

Рассмотрим примеры.

Пример 3.4. Определим частоту свободных колебаний пологой оболочки двоякой положительной кривизны, шарнирно опертой по контуру (рис. 3.9). Оболочка — сферической формы, в плане квадратная. Исходные данные: а = 10 м; /= 0,3 м; Е= 2- 10^ч МПа = 2−10⁶кН/м²; р = 2,4 т/м³; р = 0,12; h = 0,1 м; R = 82,98 м.

Рис. 3.9. Расчетная схема пологой оболочки.

Решение

Зададимся выражениями функций напряжений и прогиба оболочки:

к к.

ГД ед, Подставляем эти значения в систему дифференциальных уравнений пологих оболочек. После относительно простых преобразований получается следующее выражение для квадрата частоты свободных колебаний:

где и R, — радиусы кривизны оболочки в направлении координатных линий аир соответственно.

Для сферической оболочки /?, = /?₂ = R и.

Исследования показывают, что низшей частоте колебаний соответствует форма с одной полуволной как в направлении а, так и в направлении р, т. е. т = п= 1. Это наблюдается в оболочках с постоянными кривизнами k_{ и k₂ при небольшой разнице между R_{ и R.,. Определим численное значение частоты:

Или угловая частота со, = 12,19 с ¹

Пример 3.5'. Определим частоту свободных колебаний круглой цилиндрической оболочки (рис. ЗЛО), свободно опертой по контуру. Ее размеры: / = 54,4 м; /, = 20,6 м; / = 4,15 м; h — 0,1 м; R = 14,85 м. Материал — легкий армированный бетон, Е = 2 • 10³ МПа = 2 -10⁶ кН/м²; р = 0; р = 1,6 т/м³.

Рис. 3.10. Круговая цилиндрическая оболочка.

Решение

Уравнения для круговой цилиндрической оболочки имеют вид.

к R п.

rjxep" = n—;s_m = rn-^.

В результате подстановки этих выражений в уравнения (3.33) получаем следующие соотношения:

' Безухов Н. И., Лужин О. В., Колкунов Н. В. Устойчивость и динамика сооружений. М.: Высшая школа, 1987.

Из первого уравнения получаем Из второго уравнения получаем.

Для определения основного тона колебаний нужно определить значения т и п (значения р_пи s_m), соответствующие низшей частоте. Исследования выражения (3.34) показали, что основной тон колебаний соответствуетр, (при п = 1 одна полуволна в продольном направлении). Для длинных цилиндрических оболочек и для оболочек средней длины основному тону собственных колебаний соответствует т = 2 (две поперечные полуволны), а для весьма пологих и слабо искривленных оболочек т= 1. В этом нетрудно убедиться, исследуя выражение (3.34) на минимум при постоянном р":

После относительно громоздких выкладок получаем следующее выражение для s •.

/. 20,6.

При — =-< 0,5 частоту основного тона следует искать, но формуле (3.34).

I 54,4.

при п = 1 и т = 2. Имеем.

Подставим эти значения в (3.34):

Или угловая частота со₁₂ = 6,84 с '.

• [1] Карпов В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч. 1, 2. М.:Физматлит, 2010, 2011.