Устойчивость составных стержней

В данном параграфе приведены расчеты на устойчивость двух более сложных стержневых систем. Эти расчеты имеют некоторые свои особенности.

Пример 11.4. Определим критическую силу для составного стержня с поперечными планками (рис. 11.6, а).

Решение

Расчет такого стержня методом перемещений чрезвычайно громоздкий, особенно при большом числе панелей. Поэтому определим критическую силу энергетическим методом. Для более полного подсчета энергии деформаций, в отличие от предыдущих примеров, для составного стержня необходимо учитывать влияние поперечной силы. Форму потери устойчивости примем в виде синусоиды, удовлетворяющей граничным условиям [261.

а

Рис. 11.6. Продольный изгиб составной стойки Приращение работы внешних сил определяется как для сплошных стержней по формуле (11.5):

Энергия деформаций в данном случае состоит уже из двух частей:

где А — приращение энергии деформаций как для сплошного стержня; AW₂ — приращение энергии деформаций вследствие изгиба отдельных ветвей панели под действием поперечной силы Q_x. Подсчитаем значения приращения энергий:

(Ь²

где /₀ =2Л I — — момент инерции всего сечения (здесь не учтен собственный момент инерции ветви из-за его малости). Здесь Л_в — площадь сечения отдельной ветви стойки.

Приращение энергии A W₂ определим по эпюрам моментов, представленным на рис. 11.6, в для одной секции. При этом принимаем, что перегиб ветвей стоек имеет место посередине высоты ветви (рис. 11.6, б). С целью упрощения примем, что п_пл = п_к = п, т. е. число планок равно числу ветвей я_пл = п_н = п, т. е. число планок равно числу ветвей (индекс «пл» обозначает планку, соединяющую ветви, индекс «в» — ветви):

При большом числе панелей (более шести) можно приближенно принять, что а = А. г «dx. Тогда вместо суммы получим интеграл:

И окончательно,.

Полное приращение энергии по формуле (11.9).

Далее на основании энергетического критерия устойчивости (11.2) получим.

Следует иметь в виду, что в составных стойках, в отличие от сплошных стержней, потеря устойчивости или разрушение может произойти до достижения нагрузкой критического значения из-за некачественного производства работ (сварки) или местной потери устойчивости отдельной ветви. Потеря устойчивости в последнем случае при жестких планках может про;

_{ч й 01 Р} п²Е1_п

изоити по схеме о таол. 9.1, т. е. г,"_п. = ——.

Пример 11.5. Определим критическую силу для составного сжатого стержня с треугольной решеткой (рис. 11.7) [13, 26].

Решение

Поскольку стержень шарнирно оперт, то опять в качестве формы потери устойчивости возьмем синусоиду, удовлетворяющую граничным условиям. Работу внешних сил вычислим по формуле (11.5):

Рис. 11.7. Составной стержень с треугольной решеткой В отличие от предыдущего примера иным будет выражение для работы внутренних сил. При большом числе панелей изгибом ветвей в каждой панели можно пренебречь. Кроме того, можно принять, что элементы решетки соединены с ветвями шарнирно. Вследствие принятых допущений в элементах составного стержня при потере устойчивости будут возникать только продольные усилия. Опять примем, что число стоек и раскосов равно числу панелей п, а число ветвей 2п. Тогда.

где a/sina — длина раскоса; Л', N_c, N — соответственно продольные усилия в ветвях, стойках и раскосах.

Как и в предыдущем примере, изгибающий момент и поперечная сила в любом сечении будут иметь вид Определим через них усилия в стержнях решетки:

^к cos a ^K|>cosa / Подставим эти значения в формулу (11.10):

Как и раньше, заменим суммы интегралами, приняв, что а = Ах ~ dx.

I.

Все интегралы, как уже было показано выше, в пределах от 0 до / равны -. Следовательно,.

Момент инерции стержня без учета собственного момента инерции ветви ра.

вен Введем это обозначение и подставим полученные результаты в формулу (11.2):

Отсюда.

Полученное решение относится к сечению стержня, представленному па рис. 11.7, б. Если сечение имеет форму как на рис. 11.7, в, то площади стоек и раскосов нужно увеличить в два раза, а момент инерции всего стержня брать с учетом собственного момента инерции ветви.