Определение усилий в стержнях ферм

Расчет ферм состоит в определении продольных усилий в стержнях, а также перемещений отдельных узлов.

Настоящий параграф посвящен определению усилий в стержнях ферм. Для нахождения внутренних усилий мысленно разрезают ферму на две части и рассматривают условия равновесия одной из частей, к которой прикладывают внешние силы и пока неизвестные усилия в разрезанных стержнях. В отдельных случаях усилия определяются путем вырезания узлов. Так как величины внутренних усилий неизвестны не только по величине, но и по знаку, то предполагаем их положительными и направляем в сторону от узла. В конце расчета выяснится истинное направление внутренних усилий. Знак «плюс» означает, что выбранное направление будет правильным, поэтому стержень растянут. В противном случае, когда усилие окажется отрицательным, стержень сжат.

Поэтому при расчете ферм различают способ вырезания узлов и способ сквозных сечений. Последний подразделяют на способ моментной точки и способ проекций в зависимости от того, какое из уравнений равновесия удается составить.

Пусть потребуется определить усилия в элементах фермы, изображенной на рис. 3.8, а. Отбросим мысленно опорные связи и заменим их действие опорными реакциями.

Из уравнения равновесия TjX = -Н_А + Р₂ = 0 найдем горизонтальную опорную реакцию Н_л.

Рис. 3.8.

Вертикальные опорные реакции К_л и R_B определим из уравнений.

после чего найдем усилия в стержнях фермы. Сначала применим способ вырезания узлов. Найдем усилие N_A. Вырежем узел А (рис. 3.8, б) и составим для него уравнение равновесия.

откуда N_M = -R, i/sin а.

Для определения усилия N_M составим сумму проекций сил на горизонтальную ось

Из этого уравнения найдем

Таким образом, оказалось, что наклонный стержень А_х верхнего пояса сжат, а горизонтальный стержень Л_б нижнего пояса растянут.

Теперь определим усилия N_{1 и N₁₂. Проведем сквозное сечение I—I (см. рис. 3.8, а) так, чтобы оно пересекало не более трех стержней. Отбросим одну часть фермы, например правую, и заменим ее действие неизвестными усилиями JV₁₂, iV|₇ и N_g7 (рис. 3.8, в), предполагая их растягивающими. Для определения одного из неизвестных усилий составим уравнение равновесия так, чтобы в него не вошли два других усилия. Для этого найдем точку пересечения направлений этих двух стержней и примем ее за моментную точку.

При определении усилия jV₁₇ моментной точкой служит точка k.

откуда N_{1 = [R_Aa — Р₆(а + d)/r_x.

Для определения усилия iV₁₂ составим сумму моментов относительно точки &₂ и приравняем ее нулю:

Следовательно, ЛГ₁₂ = d (-2R_A + Р_б)/г₂.

Подобным образом можно найти и усилие в стержне 6—7, попадающем в сечение I—I. Здесь моментной точкой будет узел 1.

Для нахождения усилия ЛГ₃₇ в раскосе 3—7 проведем сквозное сечение II—II и отбросим правую часть фермы (рис. 3.8, г). Два других стержня 2—3 и 7—8 в данном случае параллельны.

Составим уравнение проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось, перпендикулярную параллельным стержням, в данном случае на вертикальную ось:

из которого получим iV₃₇ = ~(R_a — P₆)/sin р.

Как видим, раскос испытывает усилие сжатия.

Найдем усилие в стойке. Любое сквозное сечение, проведенное через стойку 3—8, пересечет более трех стержней, и трех уравнений статики будет недостаточно для того, чтобы определить усилия во всех стержнях. Снова применим способ вырезания узла. Вырежем мысленно узел 8 и действие отброшенных связей заменим силами (рис. 3.8, д). Проецируя все силы на вертикаль, получим.

откуда N38 = P_s. Заметим, что если в узле 8 внешняя нагрузка отсутствует, то усилие будет равно нулю.

Найдем теперь усилие N₂7. Как и в предыдущем случае, любое сквозное сечение, проведенное через стержень 2—7, будет пересекать более трех стержней (а именно, четыре стержня). Усилия в двух из этих четырех стержней уже известны. В этом случае можно применить способ вырезания узлов. Рассматривая условия равновесия мысленно вырезанного узла 7, получим.

откуда найдем N₂7, поскольку Л^г₁₇ и N_:il определены ранее.

Выше указывалось, что сечение не должно пересекать более трех стержней. Возможно, что среди стержней, пересекаемых сечением, окажутся стержни, усилия в которых уже известны. Тогда сечение можно провести более чем через три стержня. Так, например, проведя сечение III—III (см. рис. 3.8, а), составим уравнение проекций ХК = 0, из которого найдем усилие в стойке N₂₇, поскольку усилие М_]7 уже известно.

Используя рассмотренные способы, можно найти усилия в стержнях любой геометрически неизменяемой фермы.

Приступая к расчету фермы, следует выяснить, нет ли в ней «нулевых», т. е. неработающих стержней, усилия в которых равны нулю. Это упростит дальнейший расчет.

Установим признаки нулевых стержней. Рассмотрим для этого частные случаи равновесия узлов.

Если в узле сходятся два стержня и нагрузка действует вдоль одного из них (рис. 3.9, а), то другой стержень не работает, т. е. N₂ = 0. Это утверждение вытекает из уравнения для суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную направлению нагрузки.

Рис. 3.9.

Если в незагруженном узле сходятся два стержня (рис. 3.9, б), то усилия в стержнях равны нулю: = N₂ = О, что легко установить, проецируя силы Л/) и М₂ на оси, перпендикулярные направлениям стержней.

Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой (рис. 3.9, в), и нагрузка отсутствует, то усилие в стержне, примыкающем к двум другим, равно нулю: JV₃ = 0. Проецируя силы, действующие в стержнях, на ось, перпендикулярную направлению стержней с усилиями JVj и N₂, получим доказательство высказанного утверждения.

Применяя признаки нулевых стержней к ферме, показанной на рис. 3.10, а, найдем, что перечеркнутые стержни являются нулевыми. В этом легко убедиться, если начать с вырезания узла 4. Согласно установленному правилу (см. рис. 3.9, в) находим, что усилие в стойке 4—5 равно нулю. Выбросив мысленно эту стойку, перейдем к узлу 5. Легко убедиться, что стержень 5—3 также не работает. Далее из вырезания узлов 6 и 1 аналогично находим нулевые стержни. Вырезав узел 9, найдем, что стержень 9—7 не работает. В данном случае при действии одной сосредоточенной силы нулевые стержни можно устранить, и усилия в полученной ферме (рис. 3.10, б) будут такими же, как в исходной ферме. В ферме на рис. 3.10, б поставлен стержень 9—7 (показан пунктиром), так как без него стержень 8—9 будет неустойчив.

Рис. 3.10.

Пример. Определить усилия в стержнях фермы, показанной на рис. 3.11. Размеры и нагрузки приведены на рисунке.

Опорные реакции: Я_л = R_B = 3/2 = 1,5 кН.

Уравнения равновесия узла Л дают.

Проведя сечение I—I, найдем = А'₁₄ • 2,5 + 1−2 = 0, откуда N_u ⁼ -0,8 кН.

Проведя сечение И—II, найдем Хм,* = Nyi • 1,875 + 1,5 • 3,125 — - 1 • 1,125 = 0, откуда Л/₁₂= -1,9 кН; 2>_л = -ЛГ₂₄-3 +1−2 = 0, следовательно, N₂₄ = 0,67 кН.

Рис. 3.11.

Далее, ^М₂ = -Л/45 *3-ь 1,5−4 — 1−2 = 0, поэтому N4 5 = 1,33 кН.

Усилия в стержнях правой половины фермы можно получить из условий симметрии.