Определение длины гибкой нити

Найдем длину гибкой нити, исходя из предположения, что она очерчена по квадратной параболе и является нерастяжимой при действии нагрузки. Определение длины L_{) нерасгяжимой нити может потребоваться, например, в том случае, когда необходимо заготовить трос, из которого будет сделана гибкая нить с пролетом / и стрелой /. Исходя из равенства ds = (dxj² + (dy)² получим.

Для нити с опорами в разных уровнях (см. рис. 12.3).

4/, 8/.

где а = -j + xtgy; b = -р.

Глава 12. Расчет гибкой нити

Для пологой нити справедливо равенство.

Интегрируя, получим.

Подставив значения а и Ь, получим.

где.

Численный метод определения перемещений точек гибкой нити

В зависимости от целей расчета можно выделить два типа задач по статическому равновесию гибкой нити. Одна из задач состоит в отыскании равновесия нити при действии заданной нагрузки, которую должна воспринять нить, а вторая предусматривает определение перемещений отдельных точек при изменении действующей нагрузки. Имеется в виду, что нить загружена некоторой постоянной нагрузкой g от собственного веса и веса некоторых конструктивных элементов и подвергается дополнительному загружению временной нагрузкой q. В данном параграфе будем решать вторую задачу об изменении очертания нити, вызванном временной нагрузкой q.

Постоянную нагрузку g примем равномерно распределенной по всей длине нити. Пологая нить при такой нагрузке будет очерчена, но квадратной параболе с уравнением (12.5).

Предполагаем, что при первоначальном загружении постоянной нагрузкой учтено упругое удлинение нити от нагрузки g и с учетом этого удлинения получена стрела провисания /. После того как произойдут упругие деформации, нить получит параболическое очертание.

После дополнительного загружения временной нагрузкой q очертание нити и значения продольных сил в ее элементах изменятся. Это повлечет за собой дополнительное упругое удлинение нити. Узловые точки нити переместятся как по вертикали, так и по горизонтали. Горизонтальными перемещениями можно пренебречь, поэтому задача будет состоять в определении вертикальных перемещений ряда точек, которые запишем в виде вектора.

Допустим, что на нить с опорами, расположенными в одном уровне, нагрузка передается в п узловых точках, расположенных на одинаковых расстояниях по горизонтали, равных d (рис. 12.4, а). Постоянную и временную нагрузки будем считать сосредоточенными в узлах, поэтому между узловыми точками нить очерчена прямыми линиями. Сосредоточенная сила в узле k равна.

где Vgk — узловая сила от постоянной нагрузки; Уф — то же, от временной нагрузки.

На рис. 12.4, а сплошными линиями показано очертание нити под действием постоянной нагрузки, а пунктиром — после дополнительных перемещений от временной нагрузки.

Длины участков 5_lt S₂, …, 5″₊₁ после деформации будут S + Д5), S₂ + AS,…, S_n+] + Д5″₊₁. Усилия в соответствующих элементах обозначим N_u N₂, …, ЛГ"₊₁. Индексы у участков S и у усилий N будут совпадать с номером узла, расположенного справа.

На рис. 12.4, б показан k-W узел, вырезанный из системы после деформации. Горизонтальные проекции усилий M/_t и Nk+i равны распору Я.

Из равновесия узла находим.

где

Здесь II — суммарный распор в нити от постоянной и временной narpj/зок; гц — вертикальное перемещение узла k нити; (р?^ев и ф^^р — углы наклона элементов нити к горизонту слева и справа от узла k.

Подставив значения для тангенсов углов в формулу для Vk, получим.

Если величине k давать значения 1, 2,п, получим систему уравнений, которую запишем в матричной форме

где векторы.

Матрица L₂ имеет вид.

Решая уравнение (12.17) относительно rj, получим.

В уравнении (12.20) содержится два неизвестных: rj и распор Н. Следовательно, необходимо составить еще одно дополнительное уравнение. Для этой цели используем принцип Лагранжа, по которому виртуальная работа внешних и внутренних сил нити от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю:

где U — работа внутренних сил JV_g (от постоянной нагрузки) на.

П

удлинениях элементов Sот временной нагрузки;? —.

А-1.

работа внешних (постоянных) сил на перемещениях р от временной нагрузки.

Итак,.

где.

Здесь Е' — модуль упругости нити (кабеля); /у, — площадь сечения нити; N’ф и N^— продольные силы в элементе кабеля к от постоянной и временной нагрузок; H_g и H_q — распоры от двух указанных нагрузок.

Подставляя в равенство (12.22) выражения (12.23) и обозначая через Го площадь сечения нити в середине пролета, получим.

Обозначим.

Если положим /у, = /^;о = const и сумму заменим интегралом, то.

Если /у, = Fq/cos ср/, то.

Далее произведем замену H_q = Н — H_g и V = V_g + V_q, тогда вместо уравнений (12.20) и (12.21) получим.

Уравнения (12.28) можно записать в более удобной форме. Для этого на основании равенства (12.5), приняв р = О и Я = IL, запишем: V_g = H_gL₂y. Подставляя это выражение в уравнения (12.28), а также обозначив.

после несложных преобразований получим.

Далее, учитывая, что V_g = gd = const, вместо выражения (12.31) получим.

П.

Но Цг|? = (Oifj, где матрица-строка coj = (1 1…1). Учиты;

*-1.

вая выражение (12.30), получаем.

Приравняв теперь правые части уравнений (12.32) и (12.33), после некоторых преобразований получим квадратное уравнение для определения.

где.

Величину Ls можно выразить через пролет /:

где р для нити с постоянным сечением на основании выражения (12.26) будет равно