Собственные колебания системы с n степенями свободы

Рассмотрим балку, несущую п сосредоточенных масс, совершающих колебания в вертикальной плоскости. Вращениями и горизонтальными перемещениями масс, а также силами сопротивления пренебрегаем. В этом случае число степеней свободы равно п. Силы инерции, возникающие при движении масс, условно приложены в виде системы сосредоточенных сил (рис. 15.18). Собственные колебания вызываются только силами инерции. Все массы совершают синхронные колебания, так, например, все они одновременно пересекают ось балки, которую она занимала, находясь в покое при статическом действии масс.

Обозначим силы инерции Х, Х₂,…, Х_п, отклонения масс Ух, у2,…, у", а их амплитуды А, А₂,…, А_п. Уравнения движения масс будут.

Силы инерции.

Найдем перемещение точки k от всех инерционных сил:

Подставляя вместо сил инерции их значения, получим.

Разделим все элементы этой строки на со² и введем обозначение.

Кроме этого, перенесем из левой части у_к в правую и объединим с членом Ь_ккт_ку_к, тогда получим.

щЬкМ + тФйУг + - + (mhk ~Х) + … + rn"d_kny_n ⁼ О, k = 1, 2,…, п.

Это уравнение справедливо при любом значении k, поэтому напишем систему уравнений.

Мы получили систему однородных уравнений, которая имеет нетривиальное (не нулевое) решение только в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных перемещениях у, у_ъ …, у_п, равен нулю. Таким образом, имеем.

Мы получили характеристическое уравнение, в котором искомой величиной является X. Если этот определитель раскрыть, го получится полином степени п относительно.

Все корни этого уравнения положительные, и каждому из них соответствует свое значение частоты.

Число частот равно числу степеней свободы системы. Совокупность этих величин часто называют спектром частот. Каждой частоте соответствует своя форма колебаний. На рис. 15.19 показаны четыре первые формы колебаний для балки с несколькими одинаковыми сосредоточенными массами. Систему уравнений (15.26) удобно записать в матричной форме.

Рис. 15.19.

где.

Е — единичная матрица.

Для решения этого уравнения на компьютере существуют программы, по которым одновременно вычисляются значения и ординаты соответствующих им собственных векторов.

Для континуальных систем, т. е. систем с непрерывно распределенной массой, число собственных частот и форм колебаний равно бесконечности. Однако для практических целей обычно вычисляют ограниченное количество первых частот.

Свободные колебания реальных систем могут происходить как по одной из форм, так и по форме, состоящей из совокупности нескольких форм. В данном решении не учитывались силы сопротивления, поэтому решение является приближенным. Однако для практических целей результаты расчета являются достаточными.