Примеры определения критических сил для прямолинейных стержней

Пример 1. На рис. 16.6, а показан жесткий стержень, шарнирно закрепленный внизу и удерживаемый пружиной. Жесткость пружины характеризует коэффициент с, представляющий собой момент, который нужно приложить к упругой опоре, чтобы она повернулась на угол, равный единице (рис. 16.6, б). Найдем Р_|ф, пренебрегая изгибом стержня.

В критическом состоянии стержень наклонится на некоторый угол <�р. Моменты в упругой заделке будут М3 = Р8 = Р/ф. С другой стороны, момент в заделке М₃ =.

= Сф.

Приравняв две одинаковые величины и сокращая на ф, получим Р_кр = с/1.

Пример 2. Найдем критическую силу для механизма, изображенного на рис. 16.7, «, который удерживается прзокиной в среднем шарнире. Пусть жесткость пружины, которая равна реакции пружины при ее удлинении на единицу, будет с. Изгибом дисков ак и Ьк пренебрегаем.

Рис. 16.7.

При отклонении стержней (рис. 16.7, б) пружина будет растягиваться на величину S. Усилие в ней (рис. 16.7, в) х = с8. С другой стороны, из условия равенства нулю момента в шарнире имеем: -Р8 + х½ = 0, откуда .г = 2Р8/1. Приравнивая два полученных значения х, после сокращения на 8 получим Р_К|) = cl/2.

Пример 3. Рассмотрим теперь случай потери устойчивости сжатого стержня (рис. 16.8, а).

Рис. 16.8.

Изобразим стержень в отклоненном состоянии (рис. 16.8, б) и выберем оси координат, как показано на рисунке. При этих условиях изогнутая ось описывается уравнением (16.3) у = /Isin ол Здесь, а имеет значение, определяемое по (16.2).

Момент в точке b

Угол поворота в точке Ь равен.

С другой стороны, он равен углу поворота горизонтального стержня: (р = M/]/(3?/i); приравнивая выражения для угла, получим Подставляя в эту формулу выражение для момента и сокращая на А, получим характеристическое уравнение.

Величину Р заменим по равенству (16.1): Р = a²EJ. После сокращения на а и приняв обозначение al = v, получим

откуда Рассмотрим частный случай, когда 1_Л = l/2 EJ = 2Е]. Характеристическое уравнение примет вид vtgv = 12.

Решая это уравнение путем подбора, находим.