Использование порождающей динамической системы

Принцип использования порождающей динамической системы при формировании сложных сигналов состоит в том, что синтезируется не зависимость ординаты сигнала от времени, а создается такая структура, движения в которой имеют нужную форму. Начиная с определенного уровня сложности сигнала, легче создать генерирующую систему, чем пытаться синтезировать форму сигнала. При этом погрешности параметров динамической системы меньше изменяют форму сигнала, чем погрешности слепого копирования (аппроксимации) формы сигнала.

Синусоидальный сигнал вида y (t) = Ufi’in (2nfy + <�р₀) является собственным решением порождающей динамической системы в виде обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

при начальных условиях у (0) = U₀ sin <�р₀ и dy (0)/dt = U₀2nf₀ cos.

0. Если в левой части этого уравнения имеется слагаемое с малым положительным коэффициентом 6 при первой производной dy (t)/dt, то собственными решениями являются затухающие квазигармонические колебания. Уравнением (7.3) приближенно описываются процессы в сосредоточенных электрических линейных цепях с постоянными параметрами, механических системах типа маятника, электрических машинах, сетях электроснабжения, небесной механике и т. д.

Для ряда непрерывных функций времени y (t) несинусоидальной формы можно найти обыкновенные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, собственными решениями которых являются эти функции. В табл. 7.1 (п. 1 …4) представлены примеры уравнений такого вида.

Синтезатор сигналов, близких к собственным решениям систем, которые описываются обыкновенными дифференциальны;

№. п/п.	Уравнение или структурная схема системы.	Вид собственного решения y (t)	Примечание.
			Затухающие гармонические функции.
		т	Цилиндрические функции (Бесселя, Неймана, Ганкеля и др.).
		и"	Функции Чебышева (Лежандра).
		ш	Функции Лагерра (Эрмита).
		у,(Г) — сигнал треугольной формы; y2(t) — сигнал прямоугольной формы.	Функциональный генератор

№. п/п.	Уравнение или структурная схема системы.	Вид собственного решения y (t)	Примечание.
		М-последовательность.	Цифровой автомат формирования псевдослучайной последовательности (ПСП).
		Импульсная реакция.	Пассивный генератор ЧМ сигналов.
			Генератор непериодического хаотического сигнала.

ми уравнениями с непрерывным временем в качестве независимой переменной, представляет собой, например, электрическую модель дифференциального уравнения динамической системы на основе операционных усилителей. Момент начала формирования выходного сигнала y (t) задается ударным возбуждением такой системы или замыканием ее цепи обратной связи.

Порождающая динамическая система может иметь разрывные решения, если включает в себя узлы с логическими функциональными связями. В табл. 7.1 (п. 5) представлена схема функционального генератора, собственными функциями которой являются сигналы треугольной у,(/) и прямоугольной y₂(t) формы. Автоколебательную систему образуют соединенные в кольцо электронный интегратор и релейный элемент, знак выходного сигнала которого изменяется на противоположный при достижении входным колебанием заданных порогов. Для управления частотой автоколебаний такого генератора между выходом релейного элемента и входом интегратора включают перемножитель сигнала у₂(() на постоянный коэффициент.

Порождающая система может вместо операционных усилителей и аналоговых напряжений использовать другой физический носитель. Например, распространение поверхностных акустических волн в кристалле из пьезокварца с нанесенными на его поверхность неоднородностями описывается уравнениями, решения которых могут представлять собой радиосигнал с определенным законом изменения параметров. В табл. 7.1 (п. 7) представлен пример формирования сигнала сложной формы за счет периодического ударного возбуждения дисперсионной линии задержки на поверхностных акустических волнах коротким импульсом 5(/). Если зависимость времени задержки от частоты в ДЛЗ выбирается линейной, то ее импульсная реакция близка к ЛЧМ радиоимпульсу.

К числу динамических систем с импульсными выходными сигналами относится синтезатор псевдослучайных последовательностей импульсов (табл. 7.1, п. 6), который представляет собой соединенные в кольцо сдвиговый регистр из п триггеров Тр1… Три и сумматор по модулю два Сум2 с весовыми коэффициентами, определяющими характеристический двоичный полином выходной М-последовательности. Например, для п = 10 триггеров при суммировании отводов от 7-го и 10-го в зависимости от начальных условий в этой схеме получается 60 различных ортогональных М-последовательностей длительностью в 2^я — 1 = 1023 раза большей, чем задержка в одиночном триггере.

В настоящее время найдено и исследуется большое число детерминированных динамических систем, процессы в которых при определенных параметрах и начальных условиях представляют собой непериодический хаотический процесс >>(/). В табл. 7.1, п. 8 представлен пример системы уравнений, описывающих аттрактор Лоренца, процессы в котором могут иметь такой характер при определенных значениях коэффициентов и начальных условий. Поведение сложных сигналов такого вида невозможно прогнозировать на сравнительно большие отрезки времени и, следовательно, их формирование с помощью порождающей системы является наиболее корректным.

Порождающая динамическая система может описываться или дифференциальными уравнениями с непрерывной независимой переменной (временем), или уравнениями в частных производных, или разностными уравнениями, или структурой с обратными связями. Ее техническая реализация может базироваться на аналоговых сигналах или цифровых потоках. Варианты порождающей системы могут возникать при замене переменной, при преобразовании дифференциального уравнения в интегродифференциальное или интегральное уравнение относительно первой или второй производной исходной переменной. В таком случае следует выбирать вариант, который точнее реализуется технически. На рис. 7.8 показана схема динамической системы, порождающая функции Бесселя v (/) = /"(/). Они являются решением интегрального уравнения.

которое получается из табл. 7.1, п. 2 двукратным дифференцированием исходной переменной. Перемножители П1 и П2 формируют коэффициенты, зависящие от времени; коэффициент нелинейной функции в П2 задает порядок п функции Бесселя, а коэффициенты передачи интеграторов И1 и И2 — длительность процесса Т во времени.

Сигнал в порождающей динамической системе формируется в темпе вычислительного процесса. Можно изменить масштаб времени, в котором формируется сигнал, если изменить коэффициенты уравнения или, например, записать коды отсчетов сигнала в запоминающее устройство, а затем воспроизвести y (t) через цифроаналоговый преобразователь в нужном темпе. Можно также изменением в уравнении знака коэффициента при независимой переменной (времени /) формировать сигнал, в котором независи;

Рис. 7.8. Схема динамической системы, порождающая функции Бесселя мая переменная изменяется в обратном направлении по сравнению с исходным. В этом случае неустойчивые в обычных условиях процессы становятся устойчивыми, и наоборот.

Важная особенность порождающих динамических систем состоит в том, что момент начала генерирования выходного сигнала определяется включением возбуждающего сигнала. Кроме того, такие системы проявляют избирательные свойства по отношению к возбуждающим сигналам определенной формы. По существу они являются резонансными цепями по отношению к сигналам, негармоническая форма которых близка к их собственным функциям. Поэтому такие системы называют согласованными фильтрами. В ответ на возмущение в виде короткого импульса они генерируют сложный сигнал определенной формы — тогда речь идет о фильтрах растяжения во времени. При поступлении на вход динамической системы сигнала согласованной (комплексно сопряженной) формы они формируют короткий импульс и проявляют тем ббльшую избирательность, чем больше база сложного сигнала по сравнению с единицей и чем ближе форма возбуждающего сигнала к собственной функции системы; получается фильтр сжатия сигнала во времени.

Примером динамической системы, порождающей одновременно два когерентно связанных сигнала сложной формы является схема, рассмотренная в подразд. 6.3 и представленная на рис. 6.6. Один из выходных сигналов этой динамической системы e_H(t) в силу свойства модуляционной характеристики ГУН пропорционален частоте повторения высокочастотного выходного сигнала u (t). Такая схема является цифроаналоговым автоматом, настроенным на формирование когерентных сигналов с параметрами, записанными в блоке памяти.

Согласованная с сигналом сложной формы динамическая система может быть измерителем отклонений сигнала от заданной формы. Такие отклонения появляются в качестве погрешностей технической реализации устройства формирования или несут информацию о свойствах среды распространения в радиолокационных задачах. Если отклонений от заданной формы нет, то форма простого выходного сигнала измерителя аппроксимирует 8-функцию, т. е. имеет вид гауссовой кривой или функции (sinx)/x с длительностью, обратно пропорциональной занимаемой полосе частот. Погрешности формирования входного сигнала проявляются в виде отклонений реакции системы от указанной простой формы, как это происходит в анализаторах спектра. В них гармонический сигнал вызывает выходную реакцию в виде узкой спектральной линии, а более сложное колебание преобразуется к спектральной плотности преобразования Фурье. Рассмотренные в гл. 1 интегральные преобразования (см. табл. 1.1 и 1.2) выполняют роль таких динамических систем.