Проблема идентификации. 
Эконометрика

Изменение формы уравнений хотя и позволяет устранить проблему коррелированности объясняющей переменной и случайного отклонения, но может привести к другой, не менее серьезной проблеме — проблеме идентификации. Под проблемой идентификации понимается возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Обычно это удается сделать, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений в точности равно количеству этих коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Обычно это происходит, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений меньше числа определяемых коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структурных уравнений с коэффициентами приведенных уравнений, является несовместной. Обычно в таких случаях число уравнений для оценки коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых коэффициентов. Так проявляется проблема идентифицируемости.

Вернемся к модели (142) «спрос — предложение».

Оценки коэффициентов уравнений этой системы определяют функции спроса и предложения. Оценивая же коэффициенты приведенных уравнений, мы определяем точку пересечения кривых спроса и предложения, т. е. равновесную цену р_в и равновесное количество q_e. Очевидно, что, определив эти значения, мы не сможем восстановить функции спроса и предложения, т. к. через одну точку на плоскости можно провести бесконечно много кривых.

Действительно, используя условие равновесия.

и разрешив его относительно p_t, получим: где A₀ = P! LZ^L;_U.₌?iLZiii.

°1 Pi ^Q1 Pi.

Подставляя найденное значение р, в уравнения системы (142), получим.

где А. = _v ~ —lia _ случайный член.

°i-Pi сц-р, Уравнения (150) и (151) образуют систему приведенных уравнений. Однако система структурных уравнений (142) имеет четыре неизвестных коэффициента: a₀, a_1t р₀, Р,. Из курса алгебры известно, что для однозначного определения к неизвестных необходимо иметь не менее к (независимых) уравнений. Следовательно, мы не сможем однозначно определить четыре коэффициента, располагая построенной системой из двух уравнений:

Заметим, что если в каждое из структурных уравнений модели «спрос — предложение» наряду с ценой товара будет добавлено по одной объясняющей (экзогенной или предопределенной) переменной (например, у, в функцию спроса и р_м в функцию предложения), то коэффициенты структурных уравнений могут быть оценены однозначно. В этом случае модель станет однозначно определенной (идентифицируемой).

Рассмотрим теперь модель «спрос-предложение» с числом экзогенных переменных, превышающим количество структурных уравнений:

где переменная s_f представляет собой объем сбережений к моменту времени t.

Из условия рыночного равновесия получаем следующие приведенные уравнения:

а для случайных составляющих выполняется.

Таким образом, для оценки семи структурных коэффициентов ao. Gi, а₂, а₃, р_о, 0, Р₂₁ в данном случае получено восемь уравнений. В результате однозначное определение структурных коэффициентов невозможно вследствие противоречивости соотношений. Например, из (157) следует невозможность определения р,. Действительно, р₁ = Л_в/Л₂ и Р₁ = Л₅/Л₁. Но это возможно лишь при условии Л_в/Л₂ = Л₅ /^, а это нереально. Так как 0, входит во все уравнения для оценки приведенных коэффициентов, то оценка оставшихся структурных коэффициентов также неосуществима. В данном случае имеет место ситуация переопределенности или сверхидентифицируемости, т. е. как бы «слишком много» информации (ограничений) для определения кривой предложения. Противоречивость информации не позволяет получить искомое решение.

Заметим, что в ситуации неидентифицируемости информации «слишком мало». Это дает возможность существованию нескольких различных кривых, удовлетворяющих ограничениям модели.

Для формального определения идентифицируемости структурных уравнений применяют необходимые и достаточные условия идентифицируемости.

Введем следующие обозначения:

М — число предопределенных переменных в модели;

шчисло предопределенных переменных в данном уравнении;

К — число эндогенных переменных в модели;

к — число эндогенных переменных в данном уравнении;

А — матрица коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение.

Теперь можно сформулировать необходимое (но недостаточное) условие идентификации уравнения модели:

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т. е.: М — m? к -1.

Если М -т = /с-1, то уравнение точно идентифицировано.

Если М — т > /с-1, то уравнение сверхидентифицировано.

Достаточное условие идентификации уравнения модели:

для того чтобы уравнение было идентифицируемым, достаточно, чтобы ранг матрицы, А был равен (К — 1).

Напомним, что ранг матрицы это порядок наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля.

Теперь можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентификации уравнения модели.

• 1. Если М — т> /с -1 и ранг матрицы А был равен К — 1, то уравнение сверхидентифицировано.
• 2. Если М — т = к и ранг матрицы А равен К- 1, то уравнение точно идентифицировано.
• 3. Если М-т>к- 1, то уравнение не идентифицировано.
• 4. Если М — т < к -1, то уравнение не идентифицировано. В этом случае ранг матрицы А будет меньше К -1

Окончательно можем утверждать, что в модели, содержащей N уравнений относительно N эндогенных переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен Л/ - 1.

Рассмотрим теперь пример анализа системы одновременных уравнений на идентифицируемость.

Предположим, что выход наукоемкой продукции У моделируется системой уравнений:

Необходимо установить возможность применения данной модели к описанию инновационного процесса в государстве, осуществляющем прямое финансирование инновационной деятельности в объеме Х_Л, предоставление налоговых льгот в объеме Х₂ и обеспечивающем протекционизм национальным производителям на сумму Х₃.

Эта содержательная постановка задачи требует составления приведенной формы и проверки кахщого уравнения структурной модели (161) на идентифицируемость.

В системе (158) мы согласно условию имеем:

y_ity₂, y₃ — эндогенные переменные (К = 3)

X_1tX₂, X₃ — предопределенные переменные (М = 3).

Следовательно, К -1 = 2; Кл-М — 6.

Используя общую схему представления приведенной формы, запишем ее для нашей модели:

Проверим выполнимость необходимых условий идентифицируемости для каждого уравнения.

В первом уравнении имеем: к_у = 3; Ш₁ = 2 и для условий М — т, = = 1</с₁-1 = 2. Таким образом, данное уравнение неидентифицируемо.

Для второго уравнения к₂ = 2, т₂=' и М — т₂ = 2> к₂-' = 1. Следовательно, второе уравнение сверхидентифицировано.

В рамках третьего уравнения получаем /с₃ = 2; т_г = 2 и М — ш₃ = 1 = = /с₃ -1 = 1, что означает его точную идентифицируемость.

Проверим теперь достаточность условий идентификации.

Для того чтобы уравнение было идентифицируемым, достаточно, чтобы определитель матрицы А (матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в это уравнение) был равен К -1 = 2.

В первом уравнении отсутствует лишь переменная Х₃. Поэтому матрица А данного уравнения имеет вид вектора-столбца:

Ранг такой матрицы равен 1, что меньше К -1 = 2. Таким образом, подтвержден вывод о неидентифицируемости первого уравнения модели.

Составим теперь матрицу А для второго уравнения системы. Поскольку в нем отсутствуют переменные У₃, Х₂, Х₃, то она примет вид.

Ранг данной матрицы равен 2, что совпадает с К -1 = 2, и, вообще говоря, возможна идентификация второго уравнения модели при определенных условиях.

Для третьего уравнения системы матрица А будет выглядеть следующим образом:

Ранг данной матрицы равен 2. Снова К-1 = 2, следовательно, третье уравнение модели точно идентифицируемо.

Сделаем окончательные выводы.

Первое уравнение подсказываемой экономической теорией системы уравнений для описания динамики инновационного процесса, неидентифицируемо (не выполняются достаточное и необходимое условия идентификации). Одновременно второе уравнение системы сверхидентифицировано. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.