Нечеткие экспертные системы

Архитектура нечетких систем

Рассмотрим архитектуру классической ЭС (рис. 6.3).

Рис. 63. Архитектура нечеткой экспертной системы.

База нечетких правил (БНП или БНЗ), которую иногда называют лингвистической моделью предметной области (объекта управления), состоит из правил (p^k) вида.

где Af, By — нечеткие множества, i = (1,ri), j = (1,т) — такие что Af с с Xj с R, B^kj с Yj cz R, k = (1, /), / — число нечетких правил, х — вектор входных переменных, у — вектор выходных переменных.

При этом: [х_{1х₂у …_Ух_п]^Гг=хе Х = Х_{хХ₂х …хХ_п; [у_Уу_2уУ_т]^Тг = У ^е Y= = Y₁xY₂x … х Y_m.

Правила связаны между собой оператором ИЛИ. Считаем также, что выходы у_х, у₂, у_т взаимонезависимы. Тогда без потери общности будем рассматривать нечеткие правила со скалярным выходом:

Переменные х = х_х, х₂, …" х_п]^Гги у могут принимать значения в виде слов, например малый, средний, высокий, или в виде чисел.

В обобщенном виде это правило можно представить как нечеткую импликацию.

Правило p^k можно также интерпретировать как нечеткое отношение, заданное на множестве X х Y, т. е. Р* с X х Y — нечеткое множество с функцией принадлежности [i^k_p(x, г/) = р _Лк^_вк (•*> У)•.

Предполагается, что между правилами нет взаимодействия.

В отличие от ЭС размер БЗ НЭС на порядок меньше за счет того, что для приближенного описания предметной области требуется меньшая детализация.

На входе блока фаззификации (БФ) сигналы снимаемых значений параметров х = [х_х,…, х_п]^Тг еХ от источников информации о состоянии предметной области на основе функций принадлежности, описывающих соответствующие нечеткие множества, переводятся в форму фаззификации (в нечеткую форму; от англ. fuzzification; fuzzy — нечеткий). На выходе БФ снимается вектор А' нечетких значений параметров, рассматриваемых как лингвистические переменные с заданными множествами значений — именами нечетких множеств.

Рассмотрим два случая фаззификации, спецификация которых зависит от способа измерения входного сигнала.

В первом случае, характерном для нечетких систем поддержки принятия решений, для каждого х_{, х₂,…, х_п должны быть априорно известны функции принадлежности р (х₁), р (х₂),…, р (х"). Тогда операция фаззификации выполняется согласно рис. 6.4. Здесь символами х₁, х₂,…, х_п обозначены конкретные численные значения входных сигналов, поступившие от соответствующих систем измерения (например, от человека).

Рис. 6.4. Операция фаззификации.

Во втором случае в качестве системы измерения выступает не человек, а техническое устройство, например система «датчик — преобразователь». И очевидно, что при этом получать функции принадлежности), p (i'₂),…, p (i'") экспертным путем не имеет смысла. В этом случае используются «генераторы» значений функций принадлежности. Чаще всего такие генераторы построены на гауссовских, треугольных и трапецеидальных функциях принадлежности. Ниже приведена формула модифицированного гауссовского генератора:

где с, о, Ь — параметры генератора, смысл которых ясен из рис. 6.5, на котором изображена гауссовская кривая при разных значениях Ь.

Рис. 6.5. Использование в блоке фаззификации гауссовской кривой.

Таким образом, при априорно выбранных значениях с, о, Ь и при поступившем на вход фаззификатора х на выходе получаем значение ц._г(х).

Очевидно, что во втором случае генератор должен быть применен п раз.

Блок рассуждений (БР). Процесс обработки нечетких правил вывода состоит из четырех этапов.

• 1. Вычисляются степени истинности левых частей правил вывода и определяются степени принадлежности входных значений нечетким подмножествам в левой части правил вывода.
• 2. Нечеткие подмножества в правой части правил вывода (после «то»), модифицируются в соответствии со значениями истинности, полученными на первом этапе.
• 3. Выполняется объединение (суперпозиция) модифицированных подмножеств.
• 4. Осуществляется скаляризация результата суперпозиции, т. е. выполняется переход от нечетких подмножеств к скалярным значениям.

На формальном уровне происходит следующее. На вход БР подается нечеткое множество А' с Х_{ х Х₂ х … х Х".

Найдем соответствующее нечеткое множество на выходе этого блока. Рассмотрим два случая, которым будут соответствовать разные методы дефаззификации.

Случай 1. Па выходе блока рассуждений имеем N нечетких множеств, получаемых в соответствии с нечеткими правилами рассуждений modes ponens (от лат. — правило вывода и соответствующий ему закон):

Используя левые части подходящих нечетких правил БЗ, ему ставится в соответствие результирующее нечеткое множество — вектор В'(у) =.

Л' л > В

= (Pb'(J/i)> Ив" (У2)> •••> Рдш (#'"))• Применяя правило заключения —-,.

получаем результат: B^k сУ, Ь 1,N.

Нечеткое множество В^к определяется через композицию (сумму) нечеткого множества А' и отношения P (^k т. е.

Вид функции принадлежности Ущ (у) зависит от принятой Т — нормы и вида правил нечеткой импликации.

Пример 6.1.

Если п = 2, принята Г-норма (типа min), вид правила нечеткой импликации — правило Мамдани (Mamdani), то:

Случай 2. На выходе блока рассуждений имеем одно нечеткое множество В' с У, полученное в соответствии с нечеткими правилами рассуждений modes ponens:

Нечеткое множество В' определяется следующим образом:

Здесь заключение у есть В' — результат композиции посылки А' и глобального правила Р как агрегации правил P^^k k = 1, п. Это уравнение справедливо, если правила нечеткой импликации определены через Т — норму типа min или произведение.

Функция принадлежности нечеткого множества В' примет вид.

При этом функция принадлежности (у) при выполнении тех же условий, что и в случае 1, примет вид.

В случае 2 заключение «у есть В'» — есть результат композиции посылки А' и правила P^^k k=i,…, т, а затем агрегации, которая реализует эго уравнение.

Процесс нечеткого вывода (дефаззификации) для случая 2 на примере двух правил проиллюстрирован на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Процесс нечеткого вывода на примере двух правил.

Рассмотрим методы, применяемые на практике для выполнения этого процесса.

Для модификации нечеткого множества правой части используют один из двух методов: «минимум» или «произведение».

Первый метод ограничивает функцию принадлежности для множества, указанного в правой части, ее минимальным значением из полученных в левой части (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Метод минимума

Во втором методе значение истинности левой части используется как коэффициент, на который умножаются значения функции принадлежности в правой части (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Метод произведения

Результат выполнения правила — тоже нечеткое множество.

Выходы всех правил вычисляются нечеткой экспертной системой отдельно, однако в правой части нескольких из них может быть указана одна и та же нечеткая переменная. Очевидно, что при определении обобщенного результата необходимо учитывать все правила. Для этого система производит суперпозицию нечетких множеств, связанных с каждой из таких переменных. Эта операция называется нечетким объединением правил вывода (Max Combination). Два нечетких подмножества, получаемые при выполнении этих правил, должны быть объединены в одно.

Как было показано выше, суперпозиция функций принадлежности нечетких множеств |Лв'(У), МяЧУг)" •••> №_Вт (у_т) определяется как ._в>{у) = =, шах Цд.(у).

1 <�у<�М

Графическое представление подобной суперпозиции приведено на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Метод Max Combination.

Используется также метод суперпозиции, когда значения всех функций принадлежности суммируются (Sum Combination):

Графическая интерпретация приведена на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Метод Sum Combination.

Блок дефаззификации. Выходной величиной блока рассуждений будет N нечетких множеств В^к (случай 1) с функциями принадлежности Хщ (у), к — 1,…, N или одно нечеткое множество В' (случай 2) с функцией принадлежности х_В'(у). Задача преобразования множеств В^к или В' в единственное (четкое) значение ye F, которое можно передать в объект управления непосредственно на исполнительные механизмы или через ЛПР, называется «дефаззификацией» (defuzzification), или «скаляризацией».

Практика показала, что большинство практических задач укладывается в случай 2, поэтому ограничимся рассмотрением только соответствующих этому случаю методов дефаззификации. Имеется достаточно большое число общих методов перехода к точным значениям (по крайней мере — 30), которые используются тогда, когда нужно преобразовывать нечеткий набор значений выводимых переменных к точным значениям. Это методы полной интерпретации, или «центра тяжести», и максимума.

Метод полной интерпретации, или «центра тяжести» (англ. — center of gravity method, или center of area method). В этом методе точное значение выводимой переменной вычисляется как значение «центра тяжести» функции принадлежности для нечеткого значения. Этот метод основывается на идеях механики (рис. 6.11). А используя далее методы механики, можно также получить скаляризацию методом максимума (рис. 6.12).

Рис. 6.11. Скаляризация методом «центра тяжести»

Рис. 6.12. Скаляризация методом максимума

Пусть на плоскости OXY дана система материальных точек {х_х, у_{), …, (х_п, у_п) с массами т_{}т_п соответственно. Произведения хщ и у-т_{ называются моментами массы т, относительно осей ОХ и OY соответственно. Если обозначить через х,• и г/, координаты центра тяжести некоторой системы, например фигуры на плоскости, то.

Используя в нечетких системах идеи механики, можно рассчитать координаты, а точнее, только координату по оси OY центра тяжести фигуры abcdfe (рис. 6.13):

Рис. 6.13. Графическая интерпретация дефаззификации:

® — центр тяжести фигуры abcdfe

Метод максимума функции принадлежности или суммы (SUM). В этом методе в качестве точного значения выводимой переменной принимается максимальное значение функции принадлежности нечеткого соответствия Ив'(у) (Р^ис— 6.14):

Рис. 6.14. Графическая интерпретация метода максимума функции принадлежности.

Из рассмотренного выше ясно, что блок дефаззификации работает с некоторой погрешностью, которая может оказаться достаточно большой в случае неудачного выбора метода. Поэтому в большинстве нечетких систем используется метод «центра тяжести».

Нечеткая экспертная система — экспертная система, которая для вывода решения использует вместо булевой логики совокупность нечетких функций принадлежности и правил.