Треугольник. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Задача отображения решается непосредственно в наиболее простом случае, именно, когда мы имеем треугольник.

Итак, допустим, что нам дан треугольник с углами, равными а, тг, а₂тт, с^тт. 'Ясно, что + а₂ + а₃ = 1. Допустим; далее, что мы хотим этот треугольник отобразить на верхнюю полуплоскость. Возьмём формулу (57); в рассматриваемом случае она примет вид:

где a_lt <*2, a_g — действительные числа. Займёмся упрощением формулы (62); для этого мы возьмём для а_{ такие значения: =0,.

я₂= 1, я₃ = оо.

Для того, чтобы а₈ перевести в бесконечность, надо, как легко видеть, в подинтегральную функцию ввести новое переменное т следующим образом:

Формула (62) примет вид:

Вынося под знаком интегралаi за скобки и замечая, что будем иметь:

Возьмём линейную подстановку: т = ат'-{-?, где aub подбираем так, что когда T = b_lt то т' = 0, и когда'х=Ь₂, то т' = 1. Интеграл формулы (62″) напишется так:

Вот к какой канонической форме мы привели интеграл (62). Здесь без доказательства видно, что функции (63) будет давать отображение верхней полуплоскости z на любой заранее данный треугольник. В самом деле, функция (63), в которой мы положили С_{ = 1, С₂ = 0, при надлежащих значениях а_{ и я₂ даёт отображение верхней полуплоскости на треугольник, подобный данному.

Фиг. 152а.

Поэтому, чтобы получить отображение верхней полуплоскости на наш треугольник, остаётся преобразовать треугольник, получаемый с помощью функции (63), в наш. Этого легко добиться перенесением вершины получаемого треугольника в одну из вершин данного треугольника вращением и, наконец, подобным изменением, что сводится к надлежащему выбору множителя C_t и аддитивной постоянной С₂ в формуле (63).

Функция С (г), определяемая формулой (63) (при Cj = 1 и С₂ = 0), даёт взаимно однозначное и конформное отображение верхней полуплоскости z на внутренность треугольника, лежащего в плоскости С. Она определена, пока z лежит в верхней полуплоскости.

Фиг. 1526.

Прямолинейный отрезок 1 плоскости С (фиг. 152 а) переходит в прямолинейный же отрезок I действительной оси плоскости z (черт. Т526). Следовательно, можно применить принцип симметрии. Применим же его; отображая наш треугольник относительно, например, стороны II, получим некоторый четырёхугольник (фиг. 1536). Таким образом, разрезан;

Фиг. 1536.

ная указанным на фиг. 153а способом плоскость z отобразится на полученный выше четырёхугольник, находящийся в плоскости С (фиг. 1536).

Принцип симметрии Шварца мы можем применять дальше, причём отображение каждого треугольника, очевидно, можно производить относительно любой из его сторон. В результате вся плоскость '.

Фиг. 153а.

покроется сетью треугольников, вообще говоря, перекрывающихся. Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие плоскости С с переменным г, надо вместо плоскости z взять' бесконечнолистную риманову поверхность; при этом, конечно, указанное взаимно однозначное соответствие будет возможно в том случае и только в том, если треугольники на плоскости С не перекрываются.

Каковы же будут необходимые и достаточные условия для того, чтобы треугольники не перекрывались?

На фиг. 154 ясно, что для этого, например, необходимо, чтобы.

^2 равнялось целому числу. Точно так же должно быть и для других углов.

Дальше ясно, что этого и вполне достаточно. Итак, искомые условия можно записать следующим образом:

где г, г о, г₈— целые числа.

Итак, только в этом случае функция С = С (z) обратима в однозначную функцию z = z (Z), которая и будет давать взаимно однозначное отображение плоскости * на риманову поверхность. Но мы.

Фиг. 154.

видели, что + ct₂ Ч" ^az = 1 • Следовательно,.

Последнее соотношение представляет собою диофантово уравнение; решив его, мы найдём все возможные значения для r_l9 r_2t г₃. Можно считать, что

Очевидно, что г_х в таком случае не может быть больше 3. Далее, легко видеть, что все возможные случаи запишутся в следующей таблице:

Какие же будут треугольники при таких значениях г? Возьмём пятый столбец табл. (65). В этом случае треугольник имеет углы тт. О, 0. Это будет полоса. Формула (63) запишется так (для краткости полагаем С, = 1, С₂ = 0):

Получилась уже знакомая нам функция.

Возьмём третий столбец табл. (65). В этом случае треугольник будет иметь углы и 0, т. е. мы будем иметь полуполосу. Формула (63) для данного случая примет вид:

или 2z—l=sinCПолучим опять элементарную функцию, дающую отображение полуполосы на верхнюю полуплоскость.

Остаётся рассмотреть три остальных случая, даваемых табл. (65). Легко видеть, что это будут:

1- й случай — равносторонний треугольник. Нетрудно видеть, что формула (63) в данном случае примет вид:

2- й случай — равнобедренный прямоугольный треугольник. Здесь формула (63) напишется так:

3- й и последний случай — прямоугольный треугольник с углами в 30° и 60°. Формула'(бЗ) нам даст:

Итак, мы исчерпали все возможные случаи. Как в трёх последних случаях, так и в предыдущих двух элементарных функция 2 = 2(0.

Фиг. 155.

будет определена во всей плоскости переменного? и притом будет однозначной функцией.

Читателю рекомендуется, поступая аналогично п. 2, доказать двоякую периодичность функции 2© в каждом из трёх последних случаев, а также обнаружить принадлежность их к классу мероморфных функций.

Отображение внешней области многоугольника на верхнюю полуплоскость.

В п. 3 была разобрана задача о взаимно однозначном и конформном отображении внутренности произвольного многоугольника на верхнюю полуплоскость (фиг. 155).

Теперь мы рассмотрим задачу о взаимно однозначном и конформном отображении внешней области (содержащей бесконечно удалённую точку).

Здесь для суммы углов а, п,…, а_лп внешней области будем иметь, очевидно, а^-) — … + а_яп = («-f-2)n, T. е.

Числа а_п попрежнему положительны и не превосходят.

2. Сохраняя обозначения п. 3 и обозначая, кроме того, через j),.

/(P) 0, точку верхней полуплоскости, соответствующую бесконечно удалённой точке, имеем для функции w = f (z), конформно отображающей верхнюю полуплоскость на нашу область, формулу.

Исследование этой формулы можно провести по плану п. 3. Мы предоставляем это читателю.