Свойства исчисления высказываний как аксиоматической системы

То, что ИВ является аксиоматической системой, следует из всего вышесказанного, так сказать, по построению. Здесь мы хотим лишь подчеркнуть некоторые свойства, присущие ИВ, — как всякой системе подобного рода.

В основе аксиоматической системы лежит формальная теория. Что это означает, мы видели выше. Это означает, в частности, что в системе определено некоторое множество W базовых аксиом, из которых через процедуру вывода, но правилам R можно вывести некоторую формулу В, обязательно общезначимую, ибо множество W общезначимо по определению, а правила вывода не меняют истинности. Поскольку В общезначимо, то, очевидно, ее отрицание В = Д т. е. невыполнимо и невыводимо из W.

Этот факт говорит о непротиворечивости системы: система непротиворечива, если в пей певыводимы никакие две формулы, одна из которых является отрицанием другой.

Ранее мы определили понятие полноты системы аксиом, согласно которому любая общезначимая ППФ может быть выведена из этой системы и, следовательно, ее присоединение к этой системе полноту последней не нарушает. Покажем теперь, что полнота и непротиворечивость связаны между собой: нарушение полноты приводит к нарушению непротиворечивости системы.

Дизъюнкция, А + В, например, не является общезначимой ППФ и потому невыводима из принятой ранее системы аксиом (А1)—(АЗ). Предположим, однако, что она выводима и, следовательно, может быть добавленной к системе в виде четвертого постулата. Далее рассуждаем следующим образом.

Представим дизъюнкцию А + В в виде импликации:

1) А^В, а так как теперь она считается общезначимой, то проведем ряд подстановок и получим тавтологии:

• 2) А —> В (заменив В на В);
• 3) А -> В (заменив в (1) А на А).

Правило modus ponens может быть теперь применено к постулату (АЗ), так как его посылка (А —> В) теперь общезначима согласно тождеству (2). Отаодасправедливо тождество:

4) (А->В)->А.

Применив modus ponens к тождествам (1) и (4), получим:

5) А = И.

Заменим в (4) А на А:

6) (А ^ В) ^ А.

Применяя теперь modus ponens к (6) с учетом (3), получаем неопровержимо:

7) А = Я.

Сравнивая (7) с (5), отмечаем явное противоречие. Отсюда определение: система полна, если присоединение к аксиомам какой-либо невыводимой формулы делает ее противоречивой.