Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами можно определить различными способами. Выбор конкретного из них (объединение, пересечение и пр.) зависит от смысла решаемой задачи. Следует отметить, что класс нечетких множеств охватывает и множества в обычном смысле, поэтому вводимые определения должны соответствовать обычным операциям, принятым в теории множеств.

Определение 5. Объединением нечетких множеств А и В в X называется нечеткое множество А и В с функцией принадлежности вида.

Определение 5а. Объединение нечетких множеств А и В в X можно определить и через алгебраическую сумму их функций принадлежности:

Пример 4.12.

Пусть нечеткие множества А и В в числовой оси описываются функциями принадлежности, показанными на рис. 4.42.

Рис. 4.42. Объединение двух нечетких множеств

Пусть X = {х^х₂, х₂, х₄, х₅}, а нечеткие множества Аи В заданы через соответствующие величины функций принадлежности:

Объединение двух нечетких подмножеств Л и В здесь будет иметь вид.

Определение 6. Пересечением нечетких множеств А и В в X называется нечеткое множество А п В с функцией принадлежности вида.

Определение 6а. Пересечение нечетких множеств А и В можно определить с использованием алгебраического произведения их функций принадлежности:

Полезным является следующее свойство носителей нечетких множеств:

Эти равенства справедливы для любого из приведенных выше определений объединения и пересечения.

Пример 4.14

Функции принадлежности нечетких множеств А и В имеют вид, показанный на рис. 4.43. Жирной линией на этом рисунке показана функция принадлежности множества А п В но определению 6.

Рис. 4.43. Пересечение двух нечетких множеств.

Для исходных данных, указанных в примере 4.13, пересечение множеств А и В будет иметь вид.

Пример 4.16.

Человеческий рост может быть определен на интервалах значений большой [170- 2101, средний [ 150−190], малый | 120−160] и определен через нечеткие множества:

Определение 7. Два нечетких множества Л и В в X равны (Л = В) тогда и только тогда, когда выполняется равенство.

Если найдется по крайней мере один такой элемент х, из X, что равенство i_A(.Xj) = 1 В (^хд ^не удовлетворяется, то будем говорить, что А и В не равны и обозначать А* В.

Определение 8. Дополнением нечеткого множества А в X называется нечеткое множество А' с функцией принадлежности как на рис. 4.44:

Рис. 4.44. Функции принадлежности х множества А и соответствующего ему дополнения А'.

Пусть задано некоторое множество X и множество М функций принадлежности:

Построим нечеткое множество А:

Дополнение А' в этом случае будет иметь вид.

(для всех i_A'{x) выполняется условие x_A>(x) = 1 — р_л(дг)).

Определение 9. Разность множеств А и В в X определяется как нечеткое множество А В с функцией принадлежности вида:

Приведенное определение 9: дополнения нечеткого множества вытекают из данного определения.

Определение 10. Декартово произведение А_] х А₂ х … х А_п нечетких множеств Д, в Х_у i = 1, 2,…, п, определяется как нечеткое множество А с функцией принадлежности вида.

Определение 11. Выпуклой комбинацией нечетких множеств A_v …, А_п в X называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида.

Выпуклые комбинации нечетких множеств могут найти применение, например, в задачах принятия решений с несколькими нечеткими ограничениями.

Определение 12. Под включением будем понимать: А содержится в В, если.

Обозначение: Л с В. Строгое включение соответствует случаю, когда по крайней мере одно неравенство строгое.

Пусть:

Имеем В с А, так как 0,5 < 0,8; 0,4 < 0,6; 0,1 < 0,4.

Определение 13. Операция перемещения (рис. 4.45) изменяет положение функции принадлежности на величину X. При X > 0 происходит перемещение вправо, а при X < 0 — влево. Выражение для функции принадлежности:

Рис. 4.43. Операция перемещения.

Определение 14. Операция нормализации (рис. 4.46) осуществляется в соответствии со следующей формулой:

Определение 15. Степенью нечеткого множества А называется множество Л^е = {i (Xj)/Xj}, где е — некоторое число. При е = 2 операция сводится к возведению в квадрат — в операцию концентрации Соп (Л) = А², а при е = 0,5 — в операцию растяжения 1) П (Л) = Л^{0 5}. Выражения для степени принадлежности (рис. 4.47):

Рис. 4.46. Операция нормализации.

Поскольку степень принадлежности к нечеткому множеству ц_л(х) — величина положительная, не превосходящая единицы, операция Con снижает степень нечеткости описания, в то время как Dil повышает (рис. 4.47).

Рис. 4.47. Операции концентрации и растяжения

Пример 4.19.

Определим концентрацию и растяжение для нечеткого множества Л:

Пример 4.20.

Нечеткое множество может быть представлено либо как С = n_c(x_t)/x_[ + р₍-(.г₂ )/х₂ + +… + fx_c(x")/x"; либо графически, как в примерах выше; либо аналитически. На рис. 4.48 приведен пример соответствия аналитического задания функции принадлежности графическому.

Рис. 4.48. Пример графического задания функции принадлежности.