Числовые результаты. 
Материалы микро- и оптоэлектроники: кристаллы и световоды

Далее представлены некоторые числовые результаты, наиболее представительные из тех, что могут быть получены по вышеописанной схеме. Табл. 5.1. показывает сходимость (3/к₀ с числом источников. Для достижения высокой точности число источников для границы оболочки должно быть увеличено больше, чем для других жил. Это означает, что при N_Jack/N^U) = 2, что и было использовано для большинства расчетов, поле на границе оболочки не слишком хорошо представлено, но увеличение этого отношения 162.

без увеличения числа источников на жилу практически бесполезно; ошибка для жил определяет полную ошибку. Соотношения степеней сжатия и растяжения, а и а, были слегка изменены (менее 5%) с изменением источников в соответствии с соображениями в п. «Размещение источников». Более того, когда отношение N_jack/N^u) увеличивалось до более чем двух, необходимо было использовать 2 пары соотношений сжатия и растяжения — одну пару для границы внешней оболочки (обозначена и a^J_c^a_a^c_n) и одну пару для оставшейся части границы.

На рис. 5.8 продольное электрическое поле и плотность электрической энергии показаны для двух мод одного класса симметрии (р= 1). Мода в верхнем ряду — это фундаментальная мода р— 1, и это оболочечная мода, тогда как мода в нижнем ряду — это модазапрещенной зоны.

Таблица 5.1

Сходимость р/к₍₎ с числом источников

Имея оболочечную моду, PCF действует как обычное волокно со значением показателя преломления между значениями для воздуха и кварца. Плотность электрической энергии, и соответственно плотность рассеянной мощности, которая будет связана с этой модой в случае диэлектрика с малыми потерями, распространяются по большей части области диэлектрика. С другой стороны, на рисунках в нижнем ряду поле и плотность электрической энергии, как видно, ограничены центром PCF; малое количество мощности, вытекающей через PCF, отражается обратно воздушной оболочкой. Эта мода была изучена [21] в контексте ускорения частиц вследствие сильного продольного электрического поля в сердцевине. Как там объяснено, ускорение частиц требует равенства фазовой скорости ускоряющейся моды скорости света в вакууме, что означает Р = к_п. Ни одна жестко связанная мода не обладает таким свойством, но может быть аппроксимирована другими модами, для которых р = к₀ + б, где б — положительное и сколь угодно малое число.

Рис. 5.8. Фундаментальная р = 1 мода, находящаяся за пределами запрещенной зоны, показана в верхнем ряду (Р/к₀ = 1,201, А/Х = 0,235). Мода внутри запрещенной зоны показана в нижнем ряду (р/А_ц= 1,03, ЛЛ= 1,353) [14].

Для подтверждения кода SMT мы проверили ошибку в условиях непрерывности, как показано в табл. 5.1, и также сравнили эти результаты с результатами в работе [21]. На рис. 5.9 график поперечного сечения Е_ ускоряющейся моды, найденной для р= 1,0028 • /г₀ с помощью SMT, наложен на результаты из работы [21], найденные с помощью модели суперячсск.

Рис. 5.9. Сравнение решения с помощью SMT для PCF с воздушной оболочкой и с помощью метода суперячеек из работы [21].

Графически изображено поперечное сечение Е. вдоль оси у [14].

Основное различие в графиках находится вблизи оболочки, где могут быть легко видны последние отражение и экспоненциальное уменьшение эванесцирующсго поля. Пологость поля внутри сердцевины, являющаяся следствием требования [3 = к₀, четко различима в решении с помощью SMT.

Компоненты поля, доминирующие в сердцевине, могут быть достаточно точно выведены из свойств симметрии моды. Например, моды на рис. 5.8 имеют класс р= 1, т. к. обладают полной симметрией и для них Е_* 0 вдоль плоскостей симметрии, где Я = 0 и //_р = 0. Это может быть легко наблюдаемо на рис. 5.10. Пересечение всех плоскостей симметрии в центре требует малого.

Н в той области, что практически превращает моду в поперечно магнитную в сердцевине. То же самое применимо к классу р = 5, хоть и в меньшей мере, т. к. есть только две плоскости симметрии (см. рис. 5.11). Аналогично классы р = 2 и р = 6 будут практически поперечно электрическими в сердцевине. Классы р = 3 и р = 4 имеют поля, которые вблизи оси близки к линейно поляризованным модам.

Рис. 5.10. Магнитное поле моды из нижнего ряда рис. 5.8 [14].

Доминирующие компоненты поперечного поля здесь — это Е_х и Н в классе р = 3 и? и Н в классе р = 4. Это показано для моды класса р = 3 на рис. 5.12, где поперечные поля наложены на интенсивность света, которая пропорциональна плотности потока мощности в продольном направлении.

Дисперсные характеристики для мод, принадлежащих классу р = 1, показаны на рис. 5.13, где можно видеть фундаментальную моду р = 1. Кривая дисперсии моды запрещенной зоны, показанной в нижней части рис. 5.8, приведена на рис. 5.14, где запрещенная зона для внеплоскостного распространения затенена.

Здесь использовалось стандартное плосковолновое разложение [30] для расчета запрещенной зоны. Будучи далеко не одномодовым в этом диапазоне частот, PCF поддерживает этот режим наряду со многими другими модами, принадлежащими классу симметрии р = 1. Другие классы симметрии также изобилуют у мод в этом диапазоне частот.

Рис. 5.11. абсолютное значение продольного магнитного поля моды класса р = 5. Точка на дисперсионной характеристике — ЛЛ. = 0,5, р/?_ц= 1,139 [14].

Рис. 5.12. Линейно поляризованная мода классар = 3. Черные стрелки — поперечное электрическое поле, белые — поперечное магнитное поле. Интенсивность света показана на фоне. Точка на дисперсионнойхарактеристике — А/Х= 1,305, р/к₀= 1,011 [14].

Рис. 5.13. Дисперсионные кривые для мод, принадлежащих классу симметрии р = 1. Крайние слева кривые отвечают моде, показанной в верхней строке на рис. 5.8 [14].

Рис. 5.14. Дисперсионные кривые для мод, принадлежащих классу симметрии р = 1. Запрещенная зона для внеплоскостного распространения затенена. Пунктирная линия соответствует моде, показанной в нижней строке на рис. 5.8 [14].

Выбор меры точности

В этом разделе описана мера точности АЕ~ которая использовалась на протяжении всей работы [14]. Обратная ей величина — ошибка в выполнении условий непрерывности — усреднена по всем тестовым точкам и затем нормализована к среднему по абсолютным значениям поля на границе. Для данного векторного решения I значение поля в тестовых точках рассчитывалось как среднее между двумя приближениями с двух сторон границы. Вектор задан как:

где [Z] находится из [Z] обращением знаков всех входных величин, соответствующих полям в оптически неплотной среде, и делением результирующей матрицы на 2. Тогда нормализованная ошибка задается как:

где скобки обозначают среднее значение, которое легко рассчитывается, по известному I. Была использована и мерой сингулярности матрицы импеданса, что требует расчета вектора из нуль пространства [Z], Для этой цели использована функция Matlab ‘eigs ()', реализующая метод Арнольди [31] для этой цели.