Геометрический вывод уравнения Якоби

В этом пункте мы покажем эффективность и наглядность применения подхода, основанного на рассмотрении полей экстремалей при построении уравнения Якоби, и одновременно выясним геометрический смысл понятия сопряженных точек.

Итак, пусть функция у =у (х) является экстремапью функционала в простейшей задаче:

Пусть каким-либо образом найдено поле экстремалей, которое обозначим {у}, т. е. найдено семейство кривых {у (х)} с Q, таких, что они принадлежат классу C‘(Q), и через каждую точку Q проходит только одна кривая семейства. Следующее определение вводит понятие включения некоторой экстремали в поле экстремалей.

0.5.5. Говорят, что экстремальу (х) включена в поле экстремалей {у}, если найдено семейство у =у (х, Q, образующее поле экстремалей и содержащее данную экстремаль при некотором С = С₀, причем она не лежит на границе области ?2, в которой семейство у =у (х, Q образует поле (рис. 5.1). Если экстре мал ь у (х) включена в пучок экстремалей с центром в точке А (а, у_а), то говорят, что экстремаль включена в центральное поле экстремалей, причем, как указывалась в разд. 2, за параметр семейства здесь удобно взять угловой коэффициент наклона касательной к кривым в точке А (а, у_а) (рис. 5.2).

Оставив ненадолго поле экстремалей, рассмотрим общий случай семейства кривых, определяемых некоторым уравнением F (x, у, О, где С, как и ранее, — параметр семейства, и предположим, что функция^{обладает} требуемой гладкостью.

0.5.6. Говорят, что кривая семейства F (x, у, С) называется С-дискриминантной, если она удовлетворяет уравнению семейства.

Рис. 5.1. К определению включения экстремали в поле экстремалей.

Рис. 5.2. Включение экстремали в центральное поле экстремалей.

F (x, у, Q = 0 и при этом dF/dC = 0. Это равенство характеризует предельный характер С-дискриминантной кривой в семействе кривых, при этом сама она в согласии с определением находится из системы задающих ее уравнений:

Также отметим, что в состав С-дискриминантной кривой входит огибающая пучка кривых, как это показано на рис. 5.3, а также сам центр пучка.

Возвратимся к пучку экстремалей, исходящему из некоторой точки А (а, у_а). Пусть для данного пучка экстремалей все они описываются уравнением семейства у = у (х, Q. Найдя для этого семейства его С-дискриминантную кривую F_y(x, у) = 0, видим, что близкие кривые нашего семейства у =у (х, Q будут пересекаться с С-дискриминантной кривой F_y(x, у) = 0 (см. рис. 5.3). При этом кривые, близкие к экстремали у = у (х), которая проходит через точки А (а, у_а) и В (Ь, у_Л), будут пересекаться в точках, близких к точкам касания (или пересечения) экстремалиу =у (х) с С-дискриминантной кривой (см. рис. 5.3). Если дуга АВ не имеет общих точек (кроме точки А) с С-дискриминантной кривой, то тогда пучок экстремалей образует центральное поле (рис. 5.4), включающее эту дугу. При.

Рис. 5.3. Дисриминантная кривая как огибающая пучка кривых.

Рис. 5.4. К условию существования центрального поля.

этом если дуга АВ экстремали у =у (х) имеет отличную от А точку А* пересечения с С-дискриминантной кривой пучка, то близкие к у =у (х) кривые пучка могут пересекаться с ней вблизи точки А* и, вообще говоря, поля не образуют. Точка А* и есть сопряженная точка! Напомним, что 0.4.5 — это чисто геометрическое определение сопряженной точки как точки пересечения пучка экстремалей, исходящих из одной начальной точки.

Итак, исходя из чисто геометрических соображений получен следующий результат: для построения центрального поля экстремалей с центром в точке А, содержащего дугу АВ, достаточно, чтобы точка Л', сопряженная с точкой А, не лежат на дуге АВ.

Теперь, возвращаясь к полю экстремалей, попытаемся из этих же соображений получить уравнение Якоби. Начнемстого, что для С-дискриминантной кривой пучка, как и ранее, по ее определению.

При этом очевидно, что вдоль каждой фиксированной кривой семейства производная ду (х, С)/ЭС есть функция только х. Обозначим эту функцию гг (х) = Эу (х, С)/ЭС, где Сдано, при этом.

и'_х =д²у (х, С)/дСдх. Но функцииу=у (х, С) являются решениями уравнения Эйлера—Лагранжа, так как они — экстремали, поэтому для функционала

с подынтегральной функцией / (х, у, у') получим.

Дифференцируя это тождество по параметру С и вспоминая, что и = ду (х, С)/дС, получим или

Здесь fyyjyy? f_yy известные функции х.

Заметим, что аргумент у есть решение уравнения Эйлера—Лагранжа (при некотором фиксированном Q.

Итак, уравнение Якоби (5.11) получено на основе чисто геометрического подхода!