Существование поля комплексных чисел

• 11усть С = {(а₉Ь) | аф е R). Определим на С операции сложения + и умножения •, положив для любых (a, b),(c_yd) е С
• (a, b) + (сс/) = (а + c, b+d), (a, b) • (с,d) = (асbd, ad + be).

Целесообразность таких определений вытекает из того, что в поле комплексных чисел, которое мы моделируем, выполняются равенства.

6.1.5. Теорема. Система (С, +, •) является системой комплексных чисел.

Наметим план доказательства, реализацию которого оставляем читателю.

1) Система (С,+, •) является полем, причем нулем и единицей являются соответственно 0 = (0,0) и 1 =(1,0); противоположной для пары (а, Ь) будет пара (-а-Ь) если пара («,/?)^ 0, то обратным элементом для пары {cub) является пара (а, Ь)~¹ = (г-у ].

а +Ь а~+Ь)

• 2) Обозначим R = {a =(a, Q) a е R} и определим отображение ср, положив <�р (а) = (а, 0) для любого aeR. Тогда (р является изоморфизмом ноля (7?,+,-) на </?,+,•), а поэтому последняя система является полем действительных чисел.
• 3) Обозначим / = (0,1), тогда i² = (0,1) • (0,1) = (-1,0) = -I.
• 4) Всякий элемент из С представим в алгебраической форме: (а, 7>) = (я, 0)+(6,0)-(0,1) = а +b •/. ?

Упражнения

• 1. Докажите единственность поля действительных чисел в поле комплексных чисел.
• 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел.
• 3. Докажите, что в ноле комплексных чисел уравнение л ² +1 = 0 имеет точно два решения.
• 4. Приведите примеры числовых полей.
• 5. Существует ли в поле комплексных чисел (С, +. ?) подполе Р такое, что R^PczCl
• 6. Существует ли в поле комплексных чисел (С,+, •) подполе Р такое, что Ри{/}сРсС?
• 7. Какие упорядоченные пары действительных чисел «моделируют»

комплексные числа 1 + /, -28, (3 + 4/)^-1?