Выявление гетероскедастичности Критерий Спирмена

Наиболее простым как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения условий применения среди критериев выявления гетероскедастичности является критерий ранговой корреляции Спирмена. Отличительной чертой этого критерия является то, что он применим при наиболее общих предположениях о зависимости ошибок регрессии от значений выделенного регрессора, поскольку не делается никаких предварительных предположений относительно вида этих функций. Критерий Спирмена предполагает вычисление значения коэффициента ранговой корреляции

где /?(•) — ранг г-го наблюдения (по факторам х* и остаткам е соответственно).

Для проверки гипотезы (8.3) пользуются тем фактом, что г (х, е) имеет распределение Стыодента. Тогда гипотеза (8.3) отвергается с вероятностью ошибки а, если выполняется неравенство.

где  — критическое значение распределения Стьюдента с (N- 2) степенями свободы.

Критерий Голдфельда — Квандта Согласно этому критерию вся область изменения переменной х* разбивается на три интервала таким образом, чтобы средний интервал содержал d точек, а крайние — (N — d) точек. Значение d выбирается некоторым целым числом из отрезка , причем при увеличении объема выборки N величина d должна увеличиваться, приближаясь к . Далее строятся два независимых вспомогательных регрессионных уравнения по N_x точкам, соответствующим наименьшим значениям переменной х*, и по N₂ точкам, соответствующим наибольшим значениям переменной х*, причем JV, + N₂ = N-d. После этого вычисляются значения векторов остатков e_v е₂ и соответствующие им остаточные суммы квадратов ESS_V ES5₂.

Согласно критерию Голдфельда — Квандта гипотеза (8.3) отвергается с вероятностью ошибки а, если нарушается хотя бы одно из неравенств:

где  — статистика Голдфельда — Квандта, имеющая распределение Фишера с (N, — m, N₂— т) степенями свободы;  — критическое значение, определяемое по таблицам квантилей распределения Фишера (см. приложение).

Критерий Бартлетта Проведем разбиение всего множества наблюдений на К непересекающихся интервалов (классов однородности). Число интервалов можно определить, например, по правилу Стёрджеса [18]:

Статистика Бартлетта вычисляется следующим образом:

где n_j — количество наблюдений, попавших в г-й интервал; sf — оценка дисперсии остатков уравнения (8.1), попавших в г-й интервал.

При справедливости проверяемой гипотезы (8.3) статистика Бартлетта имеет распределение %² с (К — 1) степенями свободы, следовательно, гипотеза (8.3) должна быть отвергнута, если.

где  — критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения у².

Критерий дисперсионного анализа (ANO КЛ-критерий) Данный критерий предложен в работе [78] и основан на 5-методе множественного сравнения (см. далее подпараграф 9.1.7), используемом в дисперсионном анализе [27]. По аналогии с критерием Бартлетта производится разбиение области изменения переменной х* на классы однородности. Следующим шагом предполагается построение вспомогательной однофакторной модели дисперсионного анализа

где в качестве значений зависимой переменной у_х- выступают абсолютные величины (или квадраты) остатков уравнения регрессии (8.1); р — генеральное среднее; а — главные эффекты, число которых определяется количеством классов однородности; и. — случайная компонента.

Более подробно анализ моделей типа (8.5) будет рассмотрен в гл. 9.

Проверяемая гипотеза (8.3) должна быть отвергнута, если хотя бы одна функция, допускающая оценку и представленная в виде парных сравнений главных эффектов, является значимой. Согласно [27], функция, допускающая оценку (ФДО), является значимой, если все значения, попадающие в интервал вида.

имеют один и тот же знак.

В выражении (8.6) использованы следующие обозначения:  — оценка функции, допускающей оценку; q -вектор-столбец коэффициентов, определяющих конкретное парное сравнение;

А.

0 — оценка вектора неизвестных параметров уравнения (8.5);

6_{ii — оценка стандартной ошибки оценки ФДО, вычисляемая как

оценка дисперсии случайной ошибки уравнения (8.5); Y — вектор значений зависимой переменной уравнения (8.5); X — матрица значений фиктивных переменных, используемых при оценивании параметров вспомогательной модели (8.5); G = (X^]Х)~ — обобщенно-обратная матрица;

 — критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Фишера.