Элементарные потоки платежей

Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных гг-периодами времени (рис. 6.8 а, б).

Рис. 6.8. Элементарные потоки платежей:

а — отток предшествует притоку; 6 — приток предшествует оттоку Примерами операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, обязательства с выплатой процентов в момент погашения, некоторые виды страховок, ценных бумаг и др. Численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов — {-PV; FV) или {PV; -FV).

Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами — FV, PV, г, п. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.

Для определения соответствующих параметров подобных потоков могут быть использованы приведенные выше формулы (6.16, 6.17, 6.20—6.23).

Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом {annuity).

Теоретически в зависимости от условий формирования могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или в конце периода и др.

В финансовой практике часто встречаются так называемые простые, или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых, но величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т. д.). Схематично подобный денежный поток может быть представлен следующим образом (рис. 6.9 а, б).

Рис. 6.9. Аннуитеты:

а — отток предшествует притокам; б — приток предшествует оттокам Выплаты по купонным облигациям, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов — все это далеко неполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых представляют собой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественные характеристики.

Согласно определению простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

• 1) все его 72-элементы равны между собой: CF_X = CF₂ … = CF_n = CF;
• 2) отрезки времени между выплатой (получением) сумм CFодинаковы,

т.е. t_n — t_n__x = … =t₂— t_v

В отличие от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов понадобятся все выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, г и /?.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции:

Фирма создаст фонд для погашения своих облигаций путем ежегодного помещения в банк сумм в 100 млн ден. сд. под 8% годовых. Какова будет величина фонда к концу третьего года?

Пример 6.12.

Рис. 6.10. Схема наращения для простого аннуитета

Как уже отмечалось, платежи могут осуществляться 7-раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т. д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т. е.у = т. В этом случае общее число платежей за п лет будет равно тп, процентная ставка — г/т, а величина платежа — CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (6.28), получим.

Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки г к количеству периодов начисления т, называется периодической.

Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.

Под современной величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета.

имеет следующий вид:

Выражения в квадратных скобках в формуле (6.30) представляют собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 ден. ед. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом и инвестиционном анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Пример 6.13

Пенсионный фонд должен осуществлять ежегодные выплаты, но 100 млн ден. ед. в течение трех лет. Какая сумма обеспечит подобные выплаты, если ставка по срочным депозитам в настоящее время равна 8% годовых?

Схема дисконтирования данного аннуитета приведена на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Схема дисконтирования простого аннуитета

Для случая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают во времени, т. е. / = т, удобно использовать соотношение вида.

Если известна будущая стоимость FV, при заданных пг величина платежа может быть определена как.

При этом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения или накопления фонда (sinking fund factor).

Соответственно, если неизвестной величиной является п_у она определяется по формуле.

В случае если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF ип примут следующий вид:

Выражение в квадратных скобках в (6.34) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).

Практическое задание 6.3

ООО «Восход» привлекло банковский кредит в объеме 100 млн руб. на пять лет по ставке 14% годовых. По условиям сделки погашение кредита производится равными платежами раз в год. Определите величину ежегодного платежа для компании.

Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки.