Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, — добавление нуля. Происходит это еще в начальной школе.

Сначала «О» — знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?

Разделить — значит найти такой х, что: х-0 = а. Возможны два случая:

1) а * 0, следовательно, надо найти х: дг-0 * 0. Это невозможно;

2) а = 0, следовательно, надо найти хг. х-0 = 0. Таких х сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции:

Эти определения нужны, если хотим сохранить переместительный закон умножения и монотонность умножения.

Есть учебники, где основные законы действий считаются справедливыми без необходимых обоснований.

В курсе математики 5—6-х классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений множеств не однозначна. Возможные варианты:

Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.

В основной школе дроби и действия над ними обычно вводятся методом целесообразных задач, придуманным еще С. И. ШохорТроцким, например, при рассмотрении следующей задачи.

Пример

• 1 кг сахарного песка стоит 15 руб. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг?
• — кг?
• 3

Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти.

— от 15. Ученики могут разделить на 3, найдя, сколько стоит одна доля 3.

килограмма, и умножить на 2, чтобы определить, сколько стоят две таких доли. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на -.

При введении дробных чисел желательно учитывать опыт учащихся, опираться на него. С дробями ученики встречаются в музыке. Самые распространенные дроби в ней: две четверти, три четверти, переводя на математический язык: две четвертых, три четвертых. Верхняя цифра обозначает количество долей в такте: две или три. Нижняя цифра обозначает длительность этой доли. В пашем случае — это четверть. В размере две четверти звучат марш, польки. В размере три четверти — вальс. Эти воспоминания помогут ученикам связать новые знания с их опытом, что является необходимым условием достижения понимания.

При изучении действий второй ступени рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности: 1) умножение на целое число; 2) умножение целого числа на смешанное число; 3) умножение дроби на смешанное число; 4) умножение на правильную дробь; 5) умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.

Пример Чтобы показать, что число при делении на правильную дробь увс;

‘ 1.

личивается, можно рассмотреть следующую ситуацию: 6: -.

Шесть кружков разрезали на четыре части, частей, конечно, стало больше, чем кружков.

Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.

При любой последовательности изучения дробей есть свои плюсы и минусы.

Если десятичные дроби вводятся раньше обыкновенных, то положительным является то, что:

• • десятичные дроби могут быть введены при рассмотрении десятичной системы нумерации целых положительных чисел (первая разрядная единица после запятой — десятые доли единицы, а следующая — сотые…);
• • все арифметические действия проще выполняются для десятичных дробей;
• • имеют большее практическое применение, чем обыкновенные.

Отрицательным является то, что для обыкновенных дробей всю теорию дробей надо строить заново, так как нельзя из частного случая делать общие выводы.

Если же обыкновенные дроби вводятся до десятичных, то следует учитывать, что:

• • десятичные — частный случай обыкновенных, следовательно, все правила действий — как следствия;
• • действия второй ступени для десятичных дробей как совокупности новых разрядных единиц (для действий первой ступени) невозможны;
• • действия над некоторыми обыкновенными проще (второй ступени);
• • основное свойство дроби только на основе общего понятия о дроби.

Для введения отрицательных чисел используются разные приемы.

Так, для обеспечения мотивации может быть использована проблемная ситуация, близкая опыту ребенка.

Пример Робин Гуд, спасаясь от преследователей, проплыл вверх по реке а км, но, оказавшись перед бродом, вынужден был плыть вниз по реке и проплыл b км. Где он оказался от начала своего пути (на каком расстоянии от входа в реку)? Выписав выражение для нахождения неизвестного: х = а — Ь_у необходимо рассмотреть все возможные соотношения между аик

1) а > к, 2) а = Ь; 3) а < Ъ — невыполнимо.

Также отрицательные числа могут быть введены:

• • через рассмотрение величин, которые имеют противоположный смысл (А. П. Киселев);
• • при рассмотрении характеристик изменений (увеличений и уменьшений) величин;
• • па основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси (В. Л. Гончаров);
• • через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток (Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский): во время сильных дождей уровень воды в реке поднялся на а см в течение суток. В течение следующих суток уровень воды понизился на b см. Какой будет уровень воды по истечении двух суток? (а — Ь);
• • при изображений расстояний на температурной шкале (А. Н. Барсуков).

Эти приемы могут использоваться и как один из аспектов мотивации. Еще одним аспектом является невозможность выполнения какого-либо действия, как в задаче выше.

Введя сравнение и действия над рациональными числами и свойства действий, мы получили числовое поле. Его дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т. е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину.

К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождение логарифма любого положительного числа при любом положительном основании. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до множества действительных чисел.